Question

如图13，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。（1）若∠B+∠C=120°，求∠AED的度数；（2）根据（1

如图13，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC。（1）若∠B+∠C=120°，求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论，请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并加以证明。

Answer 1

第一问：
∵四边形的内角和＝360°，又∠B＋∠C＝120°，∴∠BAD＋∠CDA＝240°。
∵2∠EAD＝∠BAD，2∠EDA＝∠CDA，∴2（∠EAD＋∠EDA）＝240°，
∴∠EAD＋∠EDA＝120°，而∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴∠AED＝180°－120°＝60°。
第二问：
由∠B＋∠C＝120°，∠AED＝60°，可猜想：∠B＋∠C＝2∠AED。
证明如下：
∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°，∴2∠AED＋2∠EAD＋2∠EDA＝360°，
又2∠EAD＝∠BAD，2∠EDA＝∠CDA，∴∠BAD＋∠CDA＋2∠AED＝360°··········①
而∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CDA＝360°··········②
②－①，得：∠B＋∠C－2∠AED＝0，∴∠B＋∠C＝2∠AED。

Answer 2

解：（1）∠AED的度数=60°；（解法同（2）．)

（2）∠B+∠C=2∠AED，

理由如下：

设AE、DE与BC的交点为M、N；

△ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180°；

△ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180°；

△NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180°；

由题意知：∠BAM=∠EAD、∠EDA=∠EDC；

故∠B+∠C=（180°-∠BAM-∠NDC）+（180°-∠BMA-∠DNC）；

由于∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAM-∠NDC，

且∠E=180°-∠EMN-∠ENM=180°-∠BMA-∠DNC，

故∠B+∠C=2∠E．

Answer 3

60°

Answer 4

我看这样的题就晕啊