Question

一道初二数学几何题

如图一，点P是线段AB上一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA,PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点EFGH分别是各边中点，顺次联结EFGH
（1）证明EFGH是菱形
（2）当点P在AB上方时，若∠APC=∠BPD=90°，其余条件不变，如图二，判断EFGH的形状，说明理由
0 0

Answer 1

1）首先，可以证明EFGH是平行四边形（课本上都有例题的，顺次连接四边形的四边中点所得四边形是平行四边形）
再证明三角形APD与CPB全等
得AD=BC
AD=2EH，BC=2HG，所以EH=HG
所以EFGH是菱形
2）四边形EFGH是正方形
同理可得EFGH是平行四边形，三角形APD与CPB全等
现只要再证明EH垂直HG
设AD交BC于M
有角CMD=CAD+ACB=CAD+PCB+ACP=CAD+PAD+ACP=PAC+ACP=90度
所以AD垂直BC
而EH平行AD，HG平行BC
所以EH垂直HG
所以EFGH是正方形

Answer 2

（1）连接AD，BC
∵∠APC=∠BPD
∴∠APD=∠BPC
∴△APD≌△CPB（SAS）
∴AD=BC
∵E为AC中点，F为AB中点，G为BD中点，H为CD中点
∴EF为△ABC的中位线
FG为△ABD的中位线
GH为△BCD的中位线
EH为△ACD的中位线
∴EF=GH=1/2BC，FG=EH=1/2AD
∴EF=FG=GH=HE
∴四边形EFGH为菱形。

（2）猜想：四边形EFGH为正方形
AD、BC交于点O。
证明菱形与上题同理，所有的关系都不受P点位置的影响。
∵△APD≌△CPB
∴∠PCB=∠PAD
∵∠PAC+∠PCA=90°
∴∠BCA+∠CAD=90°
∴∠AOC=90°
∴AD⊥BC
∵EF为△ABC的中位线，FG为△ABD的中位线
∴EF∥BC，FG∥AD
∴EF⊥FG
∴菱形EFGH为正方形

Answer 3

因为没图，试着给你答了。
（1）连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形
（2）成立．
理由：连接AD，BC．
∠APC=∠BPD，
∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．
即∠APD=∠CPB．
又PA=PC，PD=PB，
△APD≌△CPB（SAS）
AD=CB．
E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，
EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．
EF= BC，FG= AD，GH= BC，EH= AD．
EF=FG=GH=EH．
四边形EFGH是菱形

Answer 4

没有图啊