Question

数学问题，在线等，高分

已知F1（-c,0),Fr(c,0){c>0}是椭圆的俩焦点，0伪坐标原点，圆M的方程为(x-5c^2/4)^2+y^2=9c^2/16
(1)若P是圆M的任意一点，求证PF1/PF2的绝对值是定值（Q在椭圆上）
（2）若椭圆经过圆上一点Q，且COS@*<F1QF2=3/5 求椭圆的离心率（<F1QF2为一个角）
（3）在（2）的条件下 OQ的长度=√34/2求椭圆的方程

Answer 1

累死了

Answer 2

解：设P(x，y)，
|PF1|²/|PF2|²=[(x+c)²+y²]/[(x-c)²+y²]=1+[4cx/(x²+c²-2cx+y²)] …………①
P(x，y)满足圆的解析式(x-5c/4)²+y²=9c²/16，化简得
x²+y²+c²=5cx/2 …………②
将②代入①得|PF1|²/|PF2|²=9
PF1/PF2=3
(2) 设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，
因为Q点同时也在椭圆上，所以由前一问的结论知QF1/QF2=3
又由椭圆的定义有QF1+QF2=2a，
上面两个方程联立解得QF1=3a/2，QF2=a/2，
在△F1QF2中，F1F2=2c，由余弦定理得
F1F2²=QF1²+QF2²-2*QF1*QF2*cos∠F1QF2，即
(2c)²=(3a/2)²+(a/2)²-2*(3a/2)*(a/2)* (3/5)，化简得c²/a²=2/5，
所以，离心率e=c/a=√(2/5)=√10/5。
(3)因为O为线段F1F2的中点，所以QO为△F1QF2的中线，由中线定理有
QF1²+QF2²=2OQ²+2OF2²，即
(3a/2)²+ (a/2)²=2*(√34/2)²+2c²，结合前一问得出的c/a=√10/5，两个方程联立解得
a=√10，c=2，进而解得b=√6，所以，
椭圆的方程为x²/10+y²/6=1。

Answer 3

解：设P(x，y)，
|PF1|²/|PF2|²=[(x+c)²+y²]/[(x-c)²+y²]=1+[4cx/(x²+c²-2cx+y²)] …………①
P(x，y)满足圆的解析式(x-5c/4)²+y²=9c²/16，化简得
x²+y²+c²=5cx/2 …………②
将②代入①得|PF1|²/|PF2|²=9
PF1/PF2=3
(2) 设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，
因为Q点同时也在椭圆上，所以由前一问的结论知QF1/QF2=3
又由椭圆的定义有QF1+QF2=2a，
上面两个方程联立解得QF1=3a/2，QF2=a/2，
在△F1QF2中，F1F2=2c，由余弦定理得
F1F2²=QF1²+QF2²-2*QF1*QF2*cos∠F1QF2，即
(2c)²=(3a/2)²+(a/2)²-2*(3a/2)*(a/2)* (3/5)，化简得c²/a²=2/5，
所以，离心率e=c/a=√(2/5)=√10/5。
(3)因为O为线段F1F2的中点，所以QO为△F1QF2的中线，由中线定理有
QF1²+QF2²=2OQ²+2OF2²，即
(3a/2)²+ (a/2)²=2*(√34/2)²+2c²，结合前一问得出的c/a=√10/5，两个方程联立解得
a=√10，c=2，进而解得b=√6，所以，
椭圆的方程为x²/10+y²/6=1。
十六分之九乘c的平方

Answer 4

解：设P(x，y)，
|PF1|²/|PF2|²=[(x+c)²+y²]/[(x-c)²+y²]=1+[4cx/(x²+c²-2cx+y²)] …………①
P(x，y)满足圆的解析式(x-5c/4)²+y²=9c²/16，化简得
x²+y²+c²=5cx/2 …………②
将②代入①得|PF1|²/|PF2|²=9
PF1/PF2=3
(2) 设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，
因为Q点同时也在椭圆上，所以由前一问的结论知QF1/QF2=3
又由椭圆的定义有QF1+QF2=2a，
上面两个方程联立解得QF1=3a/2，QF2=a/2，
在△F1QF2中，F1F2=2c，由余弦定理得
F1F2²=QF1²+QF2²-2*QF1*QF2*cos∠F1QF2，即
(2c)²=(3a/2)²+(a/2)²-2*(3a/2)*(a/2)* (3/5)，化简得c²/a²=2/5，
所以，离心率e=c/a=√(2/5)=√10/5。
(3)因为O为线段F1F2的中点，所以QO为△F1QF2的中线，由中线定理有
QF1²+QF2²=2OQ²+2OF2²，即
(3a/2)²+ (a/2)²=2*(√34/2)²+2c²，结合前一问得出的c/a=√10/5，两个方程联立解得
a=√10，c=2，进而解得b=√6，所以，
椭圆的方程为x²/10+y²/6=1。

Answer 5

解：设P(x，y)，
|PF1|²/|PF2|²=[(x+c)²+y²]/[(x-c)²+y²]=1+[4cx/(x²+c²-2cx+y²)] …………①
P(x，y)满足圆的解析式(x-5c/4)²+y²=9c²/16，化简得
x²+y²+c²=5cx/2 …………②
将②代入①得|PF1|²/|PF2|²=9
PF1/PF2=3
(2) 设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，
因为Q点同时也在椭圆上，所以由前一问的结论知QF1/QF2=3
又由椭圆的定义有QF1+QF2=2a，
上面两个方程联立解得QF1=3a/2，QF2=a/2，
在△F1QF2中，F1F2=2c，由余弦定理得
F1F2²=QF1²+QF2²-2*QF1*QF2*cos∠F1QF2，即
(2c)²=(3a/2)²+(a/2)²-2*(3a/2)*(a/2)* (3/5)，化简得c²/a²=2/5，
所以，离心率e=c/a=√(2/5)=√10/5。
(3)因为O为线段F1F2的中点，所以QO为△F1QF2的中线，由中线定理有
QF1²+QF2²=2OQ²+2OF2²，即
(3a/2)²+ (a/2)²=2*(√34/2)²+2c²，结合前一问得出的c/a=√10/5，两个方程联立解得
a=√10，c=2，进而解得b=√6，所以，
椭圆的方程为x²/10+y²/6=1

Answer 6

十六分之九乘c的平方，累死我了！!