Question

一个“很难”的高中数学题---高中数学老师进（不是老师勿进）

设集合M = { a︱a = b^2 – c^2，b，c∈Z}，试问：
(1)8，9，10是否属于M？
(2)是否奇数都属于M?为什么？
(3)如果2m∈M，那么整数m应满足什么条件？

我只有第（3）问不会，请告诉我解题思路及解题过程（重点是解题思路）

Answer 1

(3)
设2m=b^2-c^2=(b+c)(b-c) （*）
因为 (b+c)+(b-c)=2b，(b+c)-(b-c)=2c 均为偶数，
所以 b+c与b-c同为奇数或同为偶数。
i)若b+c与b-c同为奇数，则（*）式左端为偶数，右端为奇数，矛盾。
ii)若b+c与b-c同为偶数，则（*）式右端为4的倍数，因此，左端被4整除，m必为偶数
综上，如果2m∈M，那么整数m应满足的条件是：m为偶数。

Answer 2

（3）2m=b^2-c^2=(b+c)(b-c)
b,c需同奇或同偶，否则一奇一偶其和差都为奇数。
b+c=2p
b-c=2q
b=p+q, c=p-q
2m=4pq
m=2pq
因此m必为偶数。

Answer 3

(3).(b+c)(b-c)=2m,当m=1,(b+c)(b-c)=2=2*1,b,c无解.m=2,(b+c)(b-c)=4=4*1=2*2，存在b,c.m=3,(b+c)(b-c)=6=6*1=3*2，b,c无解.m=4,(b+c)(b-c)=8*1=4*2,存在b,c，因此猜想2m因数分解产生两个偶数，则2m是4的倍数，m被2整除