Question

高一不等式在线求解

a,b,c>0

a+b+c=1

求证:√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)<=3√2

谢谢

Answer 1

办法1：根据等号成立的条件和次数，我们运用基本不等式
2+（3a+1)>=2√（2(3a+1)）
2+(3b+1)>=2√（2(3b+1)）
2+（3c+1)>=2√（2(3c+1)）
三个式子相加就是你要的答案：√(3a+1)+√(3b+1)+√(3c+1)<=3√2

办法2：柯西不等式
1*:√(3a+1)+1*√(3b+1)+1*√(3c+1)
<=[(1^2+1^2+1^2)*(3a+1+3b+1+3c+1)]^(1/2)
=√(3*6)=3√2
取等条件a=b=c

注：其实两个办法的本质是一样的。
有兴趣可以了解柯西不等式的几种证明，你就明白了

Answer 2

柯西不等式
1*:√(3a+1)+1*√(3b+1)+1*√(3c+1)
<=[(1^2+1^2+1^2)*(3a+1+3b+1+3c+1)]^(1/2)
=√(3*6)=3√2
取等条件a=b=c