Question

大学微积分，关于偏导和全微分的两道习题

如题，这两道题下面有不知道是谁做的答案，但是有点小矛盾

第一道题，若在求偏导时把y看成常数，不能先求全微分并把dy换成dx，第二道题求偏导答案中，却出现了先求du=…dx…dy…dz，并把dy、dz换成dx、dt，这是不是矛盾呢？

；如果要把y看成x的函数，dy能换的话，第一题的两个数值是否就一样了呢（第一题答案中没换，第二题换了，虽然答案不一定对）

如果以后再碰到z是关于x，y的函数，y是关于x的函数，求x偏导时到底能不能把y看成常数呢

求高手指点。。~~~~(>o<)~~~~

Answer 1

你需要注意,偏导数和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数，把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0，此时有dz=(偏z/偏x)dx，即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)

第二种方法是完整求出z的全微分，用比较系数法，其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)

如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果，如果是题目直接问的一般要换，否则不用

对第二道题，由于u没有具体的表达式，所以没有办法用上述的第一种方法来算，只能用第二种方法

追问

答案上算的 偏z\偏x确实是你的答案。。我不明白的是，“如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式”，那求偏导的时候为什么不能也把dy带入式子、合并呢？或者在求导之前，先把y变成e^x，求一元函数的导数，得出的答案也不对（当然也有可能是答案错了。）
如果说是因为求偏导要把y看成常数的话，那第二题也是求偏导，也是用第二种方法，却可以把dy、dz化成dt、dx然后合并，这是为什么呢。。。不知道我说清楚了没。。

追答

用方法一求偏导数的时候已经假设y为常数,即dy=0,所以不存在使用dy的情况,也不能把y变成e^x,因为e^x不是常数
而用方法二的时候,是用对比系数,要是把dy代进去了意义就不对了

第二题所有的函数都没有解析式,所以情况稍有不同,计算结果要借助复合函数

我就只说明你不清楚的一点
虽然u=f(x,y,z)
但是(偏u/偏x)并不等于(偏f/偏x)
事实上后者等于前者的一部分
因为在计算(偏u/偏x)时是假设dt=0
而计算(偏f/偏x)时是假设dy=0且dz=0
这里你看题目让求的是(偏u/偏x)，(偏u/偏t)，
所以要把u表示成x和t的函数，即u=u(x,t)
但是我们并没有u，x，t的关系式，
所以我们只能借助复合函数的微分关系来计算
与第一题有解析形式的相比，第一题中的最后结果只能含自变量x
而第二题的结果却含有乱七八糟的其它中间变量的偏导数

Answer 2

这个题目是这样来理解的z=z(x,y),y=y(x),令u=x,v=y
∂z/∂x=∂z/∂u*du/dx+∂z/∂v*dv/dx
这样做才是正确的
下面一个题目
z=(u,v,w),u=u(x),v=v(x),w=w(x)
∂z/∂x=∂z/∂u*du/dx+∂z/∂v*dv/dx+∂z/∂w*dw/dx

追问

你的意思是说，第一题得出来的两个数值虽然都是(x+1)e^x/(1+x^2e^(2x)) ，但是方法和意义不同吗

追答

对的，?z/?x指的是多元函数的偏导，而dz/dx是一元函数的导数，这两都意义完全不同。

Answer 3

第一题，题目的要求有点问题吧，复合后z是x的一元函数，所以只能是求dz/dx，不能写αz/αx。如果只有第一个函数z＝arctan(xy)，才是αz/αx。
像这种u＝f(x,y(x),z(x,y))这种形式的函数，自变量也作为中间变量，总体方法是复合函数求导公式，但是要注意写法，否则会出现问题：在假设中间变量时，应该把作为中间变量的自变量也应该换个符号，看作中间变量。比如三元函数u＝f(x,xy,xyz)，引入中间变量s＝x，t＝xy，w＝xyz，则函数是复合函数u＝f(s,t,w)，s＝x，t＝xy，w＝xyz。则αu/αx＝αu/αs×1＋αu/αt×y＋αu/αw×yz，....
印象中，同济版高数课本中有这种例题。

你说的du，dx，dy...是第二题最简单的做法，不用管各个变量之间的函数关系，只是套用微分公式、微分法则计算，最后把du表示为自变量的微分dx,dt的组合就行了。
第一题也可以用：dz＝1/(1+x^2y^2)d(xy)＝1/(1+x^2y^2)(ydx＋xdy)＝1/(1+x^2y^2)(e^xdx＋xe^xdx)＝(x+1)e^x/(1+x^2e^(2x))dx，所以dy/dx＝(x+1)e^x/(1+x^2e^(2x))

追问

不知道。。就是全班统一复印的以前的期末考试卷，应该还不会出错吧，我也很纠结这个问题- -。，应该不用偏导的。。
回答的很详细呢 谢谢谢谢~