Question

一道高数微分方程题，求详解。 y''+2y'+5y=cosx

Answer 1

y''+2y'+5y=0
r^2+2r+5=0
r1=-1-2i r2=-1+2i
y=C1e^(-x)cos2x+C2e^(-x)sin2x
设y =acosx+bsinx
5y =5acosx+5bsinx
2y' =-2asinx+2bcosx
y''=-acosx-bsinx
y''+2y'+5y=(-a+2b+5a)cosx+(-b-2a+5b)sinx
y''+2y'+5y=cosx
4b-2a=0 a=2b
4a+2b=1 10b=1,b=1/10 a=1/5
y=cosx/5+sinx/10
y''+2y'+5y=cosx
通解y=C1e^(-x)cos2x+C2e^(-x)sin2x+cosx/5+sinx/10

Answer 2

首先求特解，y=mcosx+nsinx带入（这只能靠经验，没有规律）
-mcosx -nsinx -2msinx +2ncosx + 5mcosx +5nsinx = cosx
-m +2n +5m =1 => 2n +4m =1
-n -2m +5n = 0 => -2m +4n =0
所以n=1/6, m=1/3
通解用特征根s^2+2s +5 =0的解是 -1 -4i, -1+4i
因此通解 为y = e^(-x)cos4x 和y=e^(-x)sin4x
因此是y=C1 e^(-x)cos4x + c2 e^(-x)sin4x + cosx /3 + sinx /6