Question

已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.

(2010年南京调研)(1)求sin2β的值；
(2)求cos(α＋π4)的值．

Answer 1

(1) cos(β－π/4)＝(√2/2)cosβ+(√2/2)sinβ=(√2/2)(sinβ+cosβ)
所以(√2/2)(sinβ+cosβ)=1/3
两边平方得(1/2)(sin²β+cos²β+2sinβcosβ)=1/9
即1+sin2β=2/9
所以sin2β=-7/9
(2)π/2<β<π 所以π/4<β－π/4<3π/4
因cos(β－π4)＝1/3故sin(β－π4)=2√2/3
0<α<π/2 π/2<β<π 所以π/2<α＋β<3π/2
因sin(α＋β)＝4/5 故cos(α＋β)＝-3/5
因此cos(α＋π/4)=cos[(α＋β)-(β－π/4)]=cos(α＋β)cos(β－π/4)+sin(α＋β)sin(β－π/4)
=(-3/5)(1/3)+(4/5)(2√2/3)=(8√2-3)/15