Question

在直角梯形ABCD中，AB//DC,角ABC=90°，AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F，过点F作EF//AB,交AD于点E，CF=4㎝。

求证AE的长。

Answer 1

解;由AB平行DC，可得CD/AB=CF/FA=DF/FB=1/2.,又CF=4.得AF=8，由射影定理，（就是直角三角形斜边上的高分的三个直角三角形的相似得出。很好推论）
BF。BF=CF.。FA BF=√4*8=4√2 得DF=2√2
在直角三角形DFA中。勾股定理。AD^2=DF^2+AF^2 ,可得AD=6√2
由DF/FB=DE/EA=1/2 ,可得AE=2/3DA=4√2

Answer 2

因为AB//CD，AC⊥BD
所以 三角形FDC相似于FBA
因为AB=2CD，所以BF=2DF，AF=2FC=8
有已知条件可知CDF相似于BDC，由相似三角形边得关系CD/BD=DF/CD，可求得BF=2FD=4√2
在直角三角形AFD中，已知DF，AF，可求得AD=6√2
在三角形ABD中，EF//AB,所以AE/AD=BF/BD=2/3，可得AE=4√2

Answer 3

（1）作DH垂直于AB，垂足为H，则BCDH为矩形。因AB=2DC，那么，DH就是AB的中点，即H是三角形ABD的中垂线，根据定理可知，ABD是等腰三角形。因EF∥AB，那么ABFE就是等腰梯形。

（2）因为AB平行CD 所以三角形ABF相似于三角形CDF

所以AB/CD=AF/CF=2 又因为CF=4cm 所以AF=8cm

又因为角BCF+角CBF=180度-角BFC=90度且角CBF+角ABF=90度 所以角ABF=角BCF 又因为AC垂直BD 所以角AFB=角BFC=90度 所以△ABF相似于△BCF 所以BF/CF=AF/BF 代入数字解得AE=BF=4倍根号2cm

BF=4倍根号2，CF=4，由勾股定理可知BC=4倍根号3.

BC=4倍根号3，AC=12，再根据勾股定理可知AB=4倍根号6