Question

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，线段AC上一动点P（P与A、C不重合）

如图20所示，在三角形ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，线段AC上一动点P（P与A、C不重合），过点P作PQ//AB交BC于点Q。

（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积的1/3时，求CP的长。

（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。

（3）在AB上是否存在点M，使得三角形PQM为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求PQ的长。

Answer 1

提示如下，详细过程自己补充

（1)S(PQC):S(PABQ)=1:3,则S(PQC):S(ABC)=1:(1+3)=1:4
因PQ平行AB，S(PQC):S(ABC)=CP^：AC^ （^表示平方)
则CP:AC=1:2，PC=AC/2=4/2=2

(2)设CP=x
AP=4-x,CQ=3x/4,BQ=3-3x/4
三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等,则
PQ+x+3x/4=PQ+(4-x)+(3-3x/4)+5
得x=24/7

(3)设存在点M，PQ=x，取PQ中点G，连接GM，则GM垂直PQ且GM=DG=PG=PQ/2=x/2
CQ=3x/5,BQ=3-3x/5
过D作DE垂直PQ交AB于E
因PQ平行AB，MG垂直PQ，DE垂直PQ，MG=DG，则DGME为正方形
DE垂直BM，DE=GM=x/2
又DE=4/5*BQ=4/5(3-3x/5)
则4/5(3-3x/5)=x/2
解得x=120/49
所以存在点M使得三角形PQM为等腰直角三角形,PQ=120/49

Answer 2

1)设CP为X，四边形PABQ的面积为S即：
S=(1/2*3*4)-(1/2*X*3X/4)=3*(1/2*X*3X/4) 得X=2 即CP长为2；
2）设CP为X,由一直条件得：X+PQ+CQ=PQ+AP+AB+BQ
X+CQ=AP+AB+BQ AP=4-X CQ=3/4X BQ=3-3/4X
得：X=24/7 即CP长为24/7
3)假设PQM等腰直角三角形存在，∠PQM为直角，设PQ为X得：3/5X+5/4X=3 得X≈1.62
则假设成立，PQM等腰直角三角形存在;PQ长度约为1.62。
假设PQM等腰直角三角形存在，∠QPM为直角，设PQ为X得：4/5X+5/4X=4 得X≈1.62
则假设成立，PQM等腰直角三角形存在；PQ长度约为1.62。

Answer 3

（1）
易知S三角形PQC=1/4 S三角形ABC
三角形PQC相似于三角形ABC
所以cp=1/2ac=2
(2)
cp+cq+qp=bq+ab+ap+qp
cq+cp=bq+ap+5又因cq+cp+bq+ap=3+4=7
设cq/bq=cp/pa=x
cp+pa= 4=ap+Xap
cq+qb= 3=bq+Xbq
cq+cp= xbq+xap=bq+ap+5
解这个三元1次方程组得7/5=(X+1)/(X-1) X=6,ap=4/7,cp=4-4/7=24/7
(3)
三角形PQM为等腰直角三角形，三角形PQC为直角三角形，那么这2个三角形共为某个园的内接三角形，QP为这个园的直径QM^2+MP^2=PQ^2=QC^2+CP^2=4*r^2
接下来就是解方程。

Answer 4

(1)设CP等于mCA
因为PQ平行AB
所以CQ等于mCB
所以1/2mACmBC=1/4*1/2AC*BC
m平方=1/4
m=1/2
PC=2 BC=3/2
勾股定理CP=5/2

Answer 5

（1）. 2
（2）. 2
（3）.