Question

如图，在矩形ABCD中，已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F，E为BC的中点连结，EF

如图，在矩形ABCD中，已知AB=1,BC=2,∠ABC的平分线交AD于点F,E为BC的中点，连结EF，
设点P是线段BF上的一个动点，点N是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P使j∠APN=90°，请写出BF的长度
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Answer 1

∠ABC=90度，其平分线BF交AD于点F，则∠ABF=∠FBC=45度，
所以，AF=AB=1，而BE=BC/2=1，所以，四边形AABEF是正方形。
N是矩形ABCD的中心，即AC与BD的交点，也是EF的中点。
问题转化一个正方形的问题了。BF=根号2。
过点P作BC的平行线，交AB于G，交EF于H。四边形BEHG也是矩形，BG=PG=EH。
设BG=X，于是，PG=EH=X，AG=1-X，PH=1-X，NH=1/2-X。
因为∠APN=90°，所以，∠HPN+∠APG=90°，而∠GAP+∠APG=90°，
所以，∠HPN=∠GAP，所以，三角形AGP相似三角形PHN，
所以，AG：PH=PG：NH，由于AG=1-X=PH，所以，PG=NH，即X=1/2-X，X=1/4。
这时，BP=1/4根号2。

Answer 2

因为N为对称中心,所以N为EF中点,EN=1/2
过P点做PG垂直于AB,做PS垂直于BC,
因为角ABF=角EBF
所以PG=PS=x
在直角三角形AFN中,可求得AN的平方为5/4
在直角三角形APG中,AP的平方=(1-x)平方+x平方
过N做NR垂直于EF,则在直角三角形NRP中,
PR=1-x NR=1/2-x
PN平方=(1-x)平方+(1/2-x)平方
因为角APN=90度
所以AN平方=AP平方+PN平方
即:5/4=(1-x)平方+x平方+(1-x)平方+(1/2-x)平方
解得x=1 或x=1/4, 因为x<1,所以x=1/4
BP平方=BG平方+BS平方=1/4平方+1/4平方
BP=V2/4 4分之根号2

Answer 3

第一个问题：求出BF的长度。
∵ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＝∠ABC/2＝45°，
∴△ABE是以BF为斜边的等腰直角三角形，∴BF＝√2AB＝√2。

第二个问题：确定P的存在与否。
这个点是存在的。以AN为直径画弧交BF于一点，这点就是P。
显然，直径所张的圆周角是直角。∴∠APN＝90°。

现在的问题是需要证明：P在B、F之间而不是在EF的延长线上。
连结BN。
∵由第一个问题的处理过程中得：△ABE是以BF为斜边的等腰直角三角形，∴AB＝AE。
又E是BC的中点，∴BE＝AB，∴ABEF是正方形。
∵N是矩形ABCD的对称中心，∴N在EF上，且EN＝FN。
∴∠ABN＋∠EBN＝∠ABE＝90°，∴∠ABN＜90°，∴点B在以AN为直径的圆外。
∴在△ABN内存在点P在BF上，使∠APN＝90°。
即：使∠APN＝90°的点P在线段BF上，而不在FB的延长线上。　　于是问题得证。

Answer 4

因为N为对称中心,所以N为EF中点,EN=1/2
过P点做PG垂直于AB,做PS垂直于BC,
因为角ABF=角EBF
所以PG=PS=x
在直角三角形AFN中,可求得AN的平方为5/4
在直角三角形APG中,AP的平方=(1-x)平方+x平方
过N做NR垂直于EF,则在直角三角形NRP中,
PR=1-x NR=1/2-x
PN平方=(1-x)平方+(1/2-x)平方
因为角APN=90度
所以AN平方=AP平方+PN平方
即:5/4=(1-x)平方+x平方+(1-x)平方+(1/2-x)平方
解得x=1 或x=1/4, 因为x<1,所以x=1/4
BP平方=BG平方+BS平方=1/4平方+1/4平方