Question

线性方程组 X1+X2+2X3+3X4=1 X1+3X2+6X3+X4=3 3X1-X2+KX3+15X4=3 X1-5X2-10X3+12X4=f 中

k,f为何值是方程组无解，解唯一，有无穷多解？在有解是，求出全部解

Answer 1

解: 增广矩阵 =
1 1 2 3 1
1 3 6 1 3
3 -1 k 15 3
1 -5 -10 12 f

r3-r1-r2-r4, r2-r1,r4-r1
1 1 2 3 1
0 2 4 -2 2
0 0 k+2 -1 -f-1
0 -6 -12 9 f-1

r2*(1/2),r1-r2,r4+6r2
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 k+2 -1 -f-1
0 0 0 3 f+5

当 k≠-2时, 方程组有唯一解.
当 k=-2时,
r4+3r3
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 0 -1 -f-1
0 0 0 0 -2f+2
此时, 若 f≠1 则方程组无解
当f=1时
1 0 0 4 0
0 1 2 -1 1
0 0 0 -1 -2
0 0 0 0 0

r1+4r3,r2-r3,r3*(-1)
1 0 0 0 -8
0 1 2 0 3
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0

方程组的全部解为: (-8,3,0,2)'+c1(0,-2,1,0)'.

综上有:
当 k≠-2时, 方程组有唯一解.
当 k=-2,f≠1时, 方程组无解
当 k=-2,f=1时, 方程组有无穷多解
此时, 方程组的全部解为: (-8,3,0,2)'+c1(0,-2,1,0)'.