Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1（直棱柱指侧棱垂直于底面），AB=BB1=BC，∠ABC是直角，D为AC的中点。

(1)说明AC1与平面ABB1A1所成角θ，求角θ的正切值；
(2)求证：A1B⊥平面AB1C1；
(3)求证：B1C//平面A1BD。

Answer 1

解：(1)由题意，令AB=BB1=BC=a,连结AB1
因为∠ABC是直角，所以BC⊥AC
又BB1⊥平面ABC,则：BB1⊥BC
所以：BC⊥平面ABB1A1
因为BC//B1C1,所以B1C1⊥平面ABB1A1
则AC1在平面ABB1A1内的射影为AB1
即∠B1AC1就是AC1与平面ABB1A1所成角θ
在矩形ABB1A1中，AB=BB1=a,则矩形ABB1A1是一个正方形
AB1=√2*a
则在Rt△AB1C1中，∠AB1C1=90°，B1C1=BC=a
有：tan∠B1AC1＝tanθ=B1C1/AB1=√2/2

(2)连结A1B交AB1于点E则由第1小题B1C1⊥平面ABB1A1得：B1C1⊥A1B
且在正方形ABB1A1中，有：A1B ⊥AB1
又AB1∩B1C1=B1,且AB1与B1C1都在平面AB1C1内
所以：A1B⊥平面AB1C1

(3)连结DE
则由点D.E分别是AC、AB1中点得
在△AB1C中，有：DE//B1C
又DE在平面A1BD内，B1C不在平面A1BD
所以：B1C//平面A1BD

Answer 2

一楼回答全对，就是有点发麻烦，你慢慢抄吧！