Question

如图，现在要在一块半径为1m，圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P弧AB上，点Q在OA

，点M、N在OB上，设∠BOP=θ，MNPQ面积为S。求：（1）S关于θ的函数关系式；（2）S的最大值及相应θ的值

Answer 1

解：过点P作PE⊥OB，垂足为E，则PE=OPsinθ=sinθ是平行四边形MNPQ边MN上的高
显然，∠OPQ=θ，∠POQ=60°-θ
则∠PQO=180°-∠OPQ-∠POQ=120°
有正弦定理得
OP/sin∠PQO=PQ/sin(60°-θ)
从而MN=PQ=2√3/3 sin(60°-θ)
所以
(1)
S=MN×PE=2√3/3 sin(60°-θ)sinθ=√3/3 cos(60°-2θ)-√3/6，0°<θ<60°
(2)
S=√3/3 cos(60°-2θ)-√3/6，0°<θ<60°
显然当θ=30°时，cos(60°-2θ)=1时，S取得最大值√3/6