Question

若不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0，1/2）成立，则a的取值范围是？

过程啊

Answer 1

用图像法结合比较简单好理解，这个是一个开口向上对称轴为x=-a/2，所以
（1）如果有对称轴在Y轴左边即a>=0，则由单调性可以知道结论总是对的，（因为0点取值为1，而大于0的地方为单增的）;
（2）另外如果对称轴在（0,1/2）之间，即0<-a/2<1/2,亦即-1<a<0,则表示在x=-a/2时取到的最小值也要非负的,得到a^2/4-a^2/2+1=1-a^2/4≥0,可以知道-1<a<0都满足；
（3）如果对称轴大于等于1/2即a≤-1时，则可以知道X∈（0，1/2）单调递减，所以x=1/2时应该非负的，即1/4+a/2+1≥0得到a≥-5/2.
综合几个方面得到a≥-5/2.
我觉得你犯的错误是可能你把对称轴当成a/2忘记了有一个负号了所以最后答案反了。

但是要使得解题比较简化的话，通常技巧就是你要求a则我们可以通过变量来表示a得到一个函数或者不等式，这里由于x的定义域为正的所以我们可以通过适当变化为
a≥-(1+x^2)/x=-(1/x+x), 而f(x)=1/x+x这个双曲线在x=1时取得最小值，所以在(0，1/2)递减，从而-f(x)在（0，1/2）上递增，我们要使得a≥-(1/x+x),恒成立则要大于等于人家的最大值即x等于1/2时的取值，进而得到了a≥-5/2.

Answer 2

f(x)=X²+aX+1=(x+a/2)^+1-a^2/4>=0
=>1-a^2/4>=0 时，无论x 为多少，不等式均成立 =>-2<=a<=2
a>2时，对于一切X∈（0，1/2）x^2+ax+1显然>0，所以a>2也可以。
当a<-2时，f'(x)=2x+a，X∈（0，1/2），f'(x)<0，f(x)是减函数，所以只要f(1/2)=1/4+a/2+1>=0
=>a>=-2.5。=>-2.5<=a<2
所以，综合上面结果，a>=-2.5时，不等式X²+aX+1≥0对于一切X∈（0，1/2）成立。

Answer 3

解：
∵不等式x²+ax+1≥0
对任意实数x∈(0,1/2)恒成立。（此时x＞0)
∴该不等式两边同除以x,可得：
a+x+(1/x)≥0.
由“对勾函数”单调性可知，此时
x+(1/x)＞5/2.
∴a+x+(1/x)＞a+(5/2)≥0.
∴a≥-5/2.

Answer 4

分离变量
a≥-(X²+1)/X= - (1/X+X)
因为X∈（0，1/2）
所以 - (1/X+X)∈（负无穷,-5/2）
所以a≥-5/2= -2.5

追问

恩，我用图像做的，结果和你一样，但不对，是小雨等于-2.5

追答

大于等于 S B

追问

尽量多给些不同的方法