Question

已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线,∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F，求证：EF∥BC

已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线,∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F，求证：EF∥BC

Answer 1

∵DE是∠ADB的角平分线
∴S△BDE/S△ADE=(1/2)BD*DE/(1/2)DE*AD=(1/2)BE*高/(1/2)AE*高
BD/AD=BE/AE(面积比原理)
∵DF是∠ADC的角平分线
∴同理CD/AD=CF/AF
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∴BE/AE=CF/AF
∴BE/AE+1=CF/AF+1
∴AB/AE=AC/AF
∴△ABC∽△AEF
∴EFIIBC
或者：

∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F
AD/DC=AF/FC 角平分线定理
同理AD/BD=AE/EB
AD是BC边上的中线
BD=DC
AE/EB=AF/FC
EF∥BC
∵ ∴

Answer 2

∠ADB和∠ADC的角平分线分别交AB、AC于E、F
AD/DC=AF/FC 角平分线定理
同理AD/BD=AE/EB
AD是BC边上的中线
BD=DC
AE/EB=AF/FC
EF∥BC

Answer 3

∵DE是∠ADB的角平分线
∴S△BDE/S△ADE=(1/2)BD*DE/(1/2)DE*AD=(1/2)BE*高/(1/2)AE*高
BD/AD=BE/AE(面积比原理)
∵DF是∠ADC的角平分线
∴同理CD/AD=CF/AF
∵AD是BC边上的中线
∴BD=CD
∴BE/AE=CF/AF
∴BE/AE+1=CF/AF+1
∴AB/AE=AC/AF
∴△ABC∽△AEF
∴EFIIBC

Answer 4

太难了