Question

线性代数的几道题，多谢了

1。设四阶方阵A=（a1 ,a2,a3,a4),且a1,a2,a3线性无关，a4=a1+a2+a3，已知b=a1+a2+a3+a4,则线性方程组AX=b的通解为
2.四阶实对称矩阵A满足A^2=A，且R(A)=3,则|A+E|=
3.已知A是n阶可逆矩阵，α1，a2,a3是n阶线性无关的列向量，求证Aa1,Aa2,Aa3线性无关（用方程组做，多谢了）
多谢各位了！

Answer 1

1：AX=b的通解，等于它的一个特解加上导出组AX=0的通解。所以现在来求AX=0的通解。我们需要知道基础解系的个数，也就是n-r,，r是向量组的秩等于极大先线性无关组的个数，我们发现a1 ,a2,a3,a4极大线性无关组就是a1 ,a2,a3，一共3个，那么r=3,n-r=1.基础解系怎么求呢？不妨设X=（x1,x2,x3,x4）我们发现求AX=0也就是a1^x1+a2^x2+a3^x3+a4^x4=0 这时候可以看明白了，唯一的基础解系就是（1,1,1,-1）。导出组的通解为η=k(1,1,1,-1)。现在在找一个AX=b的特解ξ即可。A（η+ξ）=b就是Aξ=b那么令ξ=（1,1,1,1）不就行了嘛。所以通解为k(1,1,1,-1)+(1,1,1,1)
2：实对称矩阵一定有实特征值。n=4>r=3,是降秩矩阵、就是说是不可逆的。由于特征值的乘积等于行列式值detA=0,那么4个特征值一定有一个0 。A的其余特征值为μ则A^2的特征值为μ^2。μ^2=μ 得到剩余3个特征值为1.对于|A+E|可以构造f(t)=t+1,这你应该懂的。|A+E|=f(1)^f(1)^f(1)^f(0)等于8.
3：设3个数x1,x2,x3. 令x1^Aa1+x2^Aa2+x3^Aa3=0，证明x1=x2=x3=0即可。化成 A(x1a1+x2a2+x3a3)=0，就可以看出x1=x2=x3=0。

Answer 2

1.
AX=b 等价于 (a1,a2,a3,a1+a2+a3) (x1,x2,x3,x4)T = (a1+a2+a3+a4)
等价于 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a1 + x4a2 + x4a3 = a1 + a2 + a3 + a1 + a2 + a3
亦即 (x1+x4)a1 + (x2+x4)a2 + (x3+x4)a3 = 2a1 + 2a2 + 2a3
亦即 x1+x4=x2+x4=x3+x4=2
亦即 (x1,x2,x3,x4) = t(-1,-1,-1,1) + (2,2,2,0)

2.
设 A 相似于对角形 diag(lam1,lam2,lam3,0)
则 A^2 相似于 diag(lam1^2,lam2^2,lam3^2,0)
显然 A = P^-1 diag(1,1,1,0) P
det(A+E) = det(P^-1 (diag(1,1,1,0)+diag(1,1,1,1)) P) = det(diag(2,2,2,1)) = 8

3.
假设 Aa1, Aa2, Aa3 相关
那么，存在 (k1,k2,k3)≠(0,0,0) 使 k1Aa1+k2Aa2+k3Aa3=0
亦即使 A(k1a1+k2a2+k3a3)=0
左右同时左乘 A^-1，当！与假设矛盾，证毕

Answer 3

1.k(1,1,1,-1)+(1,1,1,1)
2.0
3.x1Aa1+x2Aa2+x3Aa3=0 A(x1a1+x2a2+x3a3)=0 A 可逆 x1a1+x2a2+x3a3=0 α1，a2,a3是n阶线性无关 x1=x2=x3=0 Aa1,Aa2,Aa3线性无关