Question

用数学归纳法证明2^n+2>n^2

Answer 1

先正n=3的情况。
2^3 + 2>3^2, 10>9，显然成立。
然后假定在n=k (k>=3) 时，2^k+2>k^2
则在n=k+1时，
2^(k+1)+2
=2*(2^k)+2
=2^(2^k+2)-2
>2k^2-2
=k^2+k^2-2
因为k>3, 所以k^2-2 > 3k-2 = 2k+k-2>2k+1
所以
k^2+k^2-2
>k^2+2k+1
=(k+1)^2
因此，当n=k+1时
有2^(k+1)+2>(k+1)^2.

最后在回过来证n=1和n=2的情况。
n=1时，2^1+2>1^2, 即4>1显然成立
n=2时, 2^2+2>2^2, 即6>4显然成立。

综上所述，2^n+2>n^2对所有正整数成立。