Question

线性代数的几道题，每个题目求详细解答过程多谢了

1。设四阶方阵A=（a1 ,a2,a3,a4),且a1,a2,a3线性无关，a4=a1+a2+a3，已知b=a1+a2+a3+a4,则线性方程组AX=b的通解为
2.四阶实对称矩阵A满足A^2=A，且R(A)=3,则|A+E|=
3.已知A是n阶可逆矩阵，α1，a2,a3是n阶线性无关的列向量，求证Aa1,Aa2,Aa3线性无关（用方程组做，多谢了）
多谢各位了！

Answer 1

(1).a1,a2,a3线性无关，所以A的秩为3，所以基础解系的向量个数为4-3=1
找一个齐次方程AX=0的通解：很显然，a1+a2+a3-a4=0，所以一个通解为[1 1 1 -1]^T
找一个非齐次方程AX=b的特解，很显然，a1+a2+a3+a4=b,所以一个特解是[1 1 1 1 ]^T
所以最终答案是x=k[1 1 1 -1]^T + [1 1 1 1 ]^T

(2)A^2-A=0,所以A的特征值只能是1或0，又因为r(A)=3,所以特征值是三个1和一个0，那A+E的特征值就是三个2和一个1，|A+E|=2*2*2*1=8

（3）构造齐次线性方程组
[Aa1 Aa2 Aa3]X=0
如果这个方程组只有零解，那当然系数矩阵的列向量线性无关，也就是Aa1,Aa2,Aa3无关
原方程就是：A [a1 a2 a3]X=0
由于A可逆，两边同时左乘A的逆
[a1 a2 a3]X=0
由于a1，a2，a3无关，所以X只有零解。
从而命题得证