Question

已知圆C:x平方+(y-1)平方=5,直线l:mx-y+1-m=0

已知⊙C:x²+(y-1)²=5,直线l:mx-y+1-m=0。
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？
（3）若定点P（1,1)分弦为向量PB=2向量AP，求l的方程。问题补充：

Answer 1

（1）说明：只要证明圆心到直线的距离小于半径即可。
解：由题知：圆心C的坐标为（0,1）。有点到直线的距离公式得：d=|0-1+1-m|/（㎡+1）=|m|/（㎡+1）。因为m∈R,而距离d恒为正数，所以m大于0.又圆的半径为根号5，则比较根号5与m/(㎡+1)的大小。而㎡+1恒比m大，所以m/(㎡+1)为区间（0,1）的数，所以根号5大于m/(㎡+1)。即有点到直线的距离小于半径。所以得证。
（2）说明：将圆的方程与直线方程连解，得到关于A、B交点的三个方程，即△，x1x2，x1+x2。则可得中点M的关于X的坐标。将此坐标代入直线方程，则可得轨迹方程。
（3）不好意思，我不知道分弦是什么，不好解答。

Answer 2

(1)直线过定点（1，1），定点在圆内，所以直线与圆总有两个不同的交点
（2）设m（x，y),则mx-y+1-m=0,(y-1)/x=-1/m,
消去m得到x(x-1)+(y-1)^2=0,轨迹是一个圆
（3）设a（x1,y1),b(x2,y2),把直线方程带入圆的方程得到p点坐标x=(x1+x2)/2,y=(y1+y2)/2,坐标含参量m，根据关系pb：pa=2：1带入即可求得m
具体计算自己解决吧

Answer 3

1、直线 I ，mx-y+1-m = m(x-1) - (y - 1) = 0，肯定过 点（1,1）。
点（1,1），1^2 + (1-1)^2 = 1 <5 ，在圆C内。
所以，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B

Answer 4

M（x,y)
X平方+（Y-1）平方=5
x^2+y^2-2y-4=0
mx-y+1-m=0带入圆：
(1+m^2)x^2-2m^2x+m^2-5=0
x=m^2/(1+m^2)
(1+m^2)y^2-2(m^2-m+1)y+m^2-2m-3=0
y=(m^2-m+1)/(1+m^2)
消掉中间变量m
AB中点M的轨迹方程
(x-1/2)^2+(y-1)^2=1/4

Answer 5

晕，是不是高考题啊

追问

不是，是我们练习，我上高一

追答

直线轨迹。