Question

求两道高中数学题答案

第一道：三角形的三个内角A、B、C成等差数列，a、b、c为其三边，已知：角B=（a*a+c*c-b*b）/2ac 求证：1/（a+b）+1/（b+c）=3/（a+b+c）
第二道：设a、b、c、d是正数，求证三个不等式（其中至少有一个不正确）：(1)a+b<c+d
(2)(a+b)(c+d)<ab+cd
(3)(a+b)cd<ab(c+d)

Answer 1

证明：由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。

若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca

欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①

于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：

3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。

所以由此倒推即得。