Question

已知数列an中,a1=1/2,a(n+1)=1/2an+1,(n∈N*),令bn=an-2

1.已知数列an中,a1=1/2,a(n+1)=1/2an+1,(n∈N*),令bn=an-2
求证：bn是等比数列，并求bn
2.若数列an的前n项和sn=2的n次方
求an的通项公式

Answer 1

1.
bn=an-2;
b(n-1) = a(n-1)-2=(2an-2)-2=2(an-2)=2bn;
b(n+1) = a(n+1)-2=(1/2an+1)-2=1/2(an-2)=1/2bn;
b1=a1-2=-3/2≠0①
b(n)/b(n-1)=b(n+1)/bn=1/2②
由①②得，bn为公比为1/2的等比数列，首相为-3/2,bn=-3/2*(1/2)^(n-1);
2.
an=Sn-S(n-1)(n≠1)=2^n-2^(n-1) = 2^(n-1);
a1=s1=2≠2^(1-1);
所以an=｛ 2..........n=1
｛ 2^(n-1)..............n>1

Answer 2

1。a1=1/2
a(n+1)=1/2an+1 设：
a(n+1)+m=1/2(an+m) 推出m=2
a(n+1)-2=1/2(an-2)
a(n+1)-2/(an-2) =1/2 设an-2=Cn C1=a1-2=-3/2
Cn=(-3/2)*(1/2)^n-1=an-2
∵bn=an-2=Cn
∴bn是以-3/2为首项，1/2为公比的等比数列
2.sn=2^n
a1=2,a2=2,a3=4,a4=8......an=Sn-S(n-1) (n≠1）
∴ an=2(n=1)
或an=2^n-1（n≥2）
▏这种方法很好用哦O(∩_∩)O~ ▕

Answer 3

1，设a(n+1)+k=1/2(an+k),求的k=-2;所以(a(n+1)-2):(an-2)=1/2,即，bn是等比数列。（设k是惯用方法，考试时可以不用写在试卷上，知道方法就行）
2，s(n+1)=2^(n+1),sn=2^n,s(n+1)-sn=2^n=a(n+1),所以an=2^(n-1)，还要考虑n=1时的情况，s1=a1=2不满足上式，所以分步写。

Answer 4

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