Question

已知：在矩形ABCD中，OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为X轴和Y轴，建立平面直角坐标系。

F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过点F的反比例函数Y=K/X（K＞0）的图像与AC边交于点E。（1）求证：三角形AOE与三角形BOF的面积相等；（1)记S=S三角形OEF-S三角形ECF，求出S于K的函数关系式。

Answer 1

（1）证明：设E（x1，y1）,F(x2，y2)，△AOE和△FOB的面积为S1、S2
由题意得y1=k/x1, y2=k/x2
∴ S1=x1y1/2=k/2, S2=x2y2/2=k/2
∴S1＝S2 ，即△AOE和△FOB的面积相等
（2）由题意知E、F两点坐标分别为E（k/3，3）、F（4，k/4）
S△ECF＝1/2*EC*CF＝1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S△EDF＝S矩形AOBC－S△AOE－S△ECF＝12－k/2－k/2－S△ECF
S＝S△OEF－S△ECF＝12－k－2 S△ECF＝12－k－2×1/2*（4－k/3）（3－k/4）
S＝-k2/12+k
当k＝ 6，S最大为3
（3）设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN⊥OB，垂足为N
由题意得EN＝AO＝3，EM＝EC＝4－k/3 ，MF＝CF＝3－k/4
∵∠FMN+∠FMB＝∠FMB＋∠MFB＝90°
∴∠EMN＝∠MFB
∵∠ENM＝∠MBF＝90°
∴△ENM△MBF
∴EN/MB=EM/MF
∴ 3/MB=（4－k/3）/(3-k/4)=4*(1-k/12)/3*(1-k/12)
∴MB＝9/4
∵MB2+BF2＝MF2 ∴ （9/4）2+（k/4）2＝（3－k/4）2
解得 k＝21/8
∴BF＝k/4＝21/32
存在符合条件的点F，它的坐标为（4，21/32 ）

Answer 2

O点位置在哪

追问

前面打错了，矩形的顺序是ADBC，点D就是点O，也是平面直角坐标系的原点。