Question

已知点A（a,0）B(0,b)其中a>0,b>0直线ab与圆Cx^2+y^2-4x-4y+4=0相切,

1，求证（a-4)(b-4)=8
2，求线段AB的中点M的轨迹方程
3，求三角形AOB面积的最小值

Answer 1

解：1、直线AB 的方程为x/a+y/b=1，即bx+ay-ab=0
圆C的方程化为(x-2)^2+(y-2)^2=2^2
圆心为(2，2)，半径为2
圆心到直线的距离=2
即|2b+2a-ab|/√（a^2+b^2）=2
|2b+2a-ab|=2√（a^2+b^2）
两边平方，化简ab+8-4a-4b=0
即：（a-4)(b-4)=8
2、设中点的坐标为(x’，y’)
则x’=(a+0)/2=a/2 x’>0
y’=(b+0)/2=b/2 y’>0
即a=2x’ b=2y’
代入（a-4)(b-4)=8中
(2x’-4)(2y’-4)=8
得中点轨迹为（x-2）(y-2)=4 (x>0,y>0)
3、三角形AOB的面积S=1/2ab
由（a-4)(b-4)=8，得a=(4b-8)/(b-4)
S=1/2b(4b-8)/(b-4)
2b^2-(4+S)b+4S=0
方程有实根，Δ≥0
(4+S)^2-32S≥0
(S-12)^2≥128
S-12≥8√2或S-12≤-8√2
S≥12+8√2或S≤12-8√2（小于圆的面积，不符题意，舍去）
∴S（min）=12+8√2