Question

求证，无论x,y取何值，代数式x的平方+y的平方-2x+12y+40的值都是正数。最好有详细过程，谢谢！

Answer 1

证明：x²＋y²－2x＋12y＋40
＝﹙x²－2x＋1﹚＋﹙y²＋12y＋36﹚＋3
＝﹙x－1﹚²＋﹙y＋6﹚²＋3
∵ ﹙x－1﹚²≥0, ﹙y＋6﹚²≥0
∴ ﹙x－1﹚²＋﹙y＋6﹚²＋3＞0
即：不论x、y取何值，代数式：x²＋y²－2x＋12y＋40的值恒为正数。

Answer 2

原式=(x^2 -2x +1) + (y^2 +12y + 36) +3
=(x-1)^2 + (y+6)^2 +3

由于 (x-1)^2 和 (y+6)^2都是非负数，于是原式>3

Answer 3

证明：代数式=x^2+y^2-2x+12y+40=(x^2-2x+1)+(y^2+12y+36)+3=(x-1)^2+(y+6)^2+3
因为一个数的平方≥0，故代数式≥3，即无论x,y取何值，代数式x的平方+y的平方-2x+12y+40的值都是正数。