Question

∑Un^2 收敛,证明∑|Un/n|也收敛

Answer 1

因为∑Un^2收敛，∑1/(n^2)收敛，而2Un/n≤Un^2+1/(n^2)，右边两项∑和均收敛，所以2Un/n的∑和也收敛，得到∑Un/n收敛。
上面一位的过程，错误在当n趋近于无穷大时 q趋近于1而不是小于1.

Answer 2

∑Un^2 收敛,
lim(n→∞)(Un+1)^2 /(Un)^2=q q<1
lim(n→∞)|Un+1|/|Un|=q^(1/2)
lim(n→∞)|Un+1/(n+1)|/|Un/n|=lim(n→∞){|Un+1|/|Un|] *(n/(n+1)=q^(1/2) q<1

∑|Un/n|也收敛