Question

试证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。 知道的快说下，证明方法越多越好，以供参...

试证明：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。
知道的快说下，证明方法越多越好，以供参考，谢谢！

Answer 1

用向量的方法证明应该是最快的了。
一、用向量
假设两边为向量a、向量b则
对角线向量为a-b、a+b
对角线的平方和＝(a-b)^2+(a+b)^2=2a^2+2b^2，得证
二、用勾股定理。
过顶点做高，将其分成直角三角形。

Answer 2

平行四边形ABCD
对角线ACBD交于O
AB^2=OA^2+OB^2-2AOOBcosAOB
CB^2=OC^2+OB^2-2OCOBcosBOC
CD^2=OC^2+OD^2-2OCODcosCOD
AD^2=OA^2+OD^2-2OAODcosAOD
AB^2+BC^2+CD^2+AD^2=(AC^2+BD^2)

Answer 3

1、余弦定理
AC^2=a^2+b^2-2abcosB
BD^2=a^2+b^2-2abcos(180-B)=a^2+b^2+2abcosB
AC^2+BD^2=a^2+b^2+a^2+b^2

2、向量法
AC=DC-DA ,BD=DA+DC
AC^2+BD^2=(DC-DA)^2+(DA+DC)^2 =AB^2+BC^2+CD^2+DA^2

Answer 4

1.向量法：设四边形的两个邻边分别为 a 、b（我没加箭头）
对角线平方和是（a+b）²+(a-b)²=2a²+2b²
四边的平方就是 a²+b²+a²+b²=2a²+2b²
2.用余弦公式证明.：因为只能输入100字，写不下了，不会问我

Answer 5

余弦定理可证 对对角线分成的四个半面积的三角形用余弦定理 整理式子可得