Question

机率提:请数学高手帮忙解答,谢谢!

从1~100的整数中,第一次先取一数a,第二次再取一数b(a和b可以相同),使得3的a次方加上7的b次方的个位数字为8的机率是多少?

Answer 1

3的n次方的个位数字分别是3、9、7、1、3、……，其周期是4；7的n次方的个位数字分别是7、9、3、1、7、……，其周期也是4。要使得这两个数和的个位数字是8，则只有7和1。此时，3指数是4n＋3型号的，7的指数是4n＋3型的。则在1～100内，满足4n＋3的数一共有25个。则这个问题的几率P=1/16

追问

9和9也可以,所以共有7和1 1和7 9和9 三組合適的,每組機率都為1/16 ,所以三組一共機率為3/16,我懂我錯在哪裡了,謝謝您,因為我剛剛一直把4n+3的個數算成了24個!再次感謝您

Answer 2

1/8

追问

不好意思,答案不對!

追答

3/16

追问

答案正確了,可以請您寫出詳細解題過程嗎?謝謝你喔

追答

3^1被10除余3，3^2被10除余9，3^3（27）被10除余7，3^4（81）被10除余1，3^5即3^（4+1)被10除余3，……归纳得3^(4n+1)被10除余3,3^(4n+2)被10除余9,3^(4n+3)被10除余7,3^(4n)被10除余1.
同样，7^(4n+1)被10除余7，7^(4n+2)被10除余9,7^(4n+3)被10除余3,7^(4n)被10除余1要满足题目个位数为8，有下列情况：
1、a=4n+2,4=4n+2,两个数个位数都是9，相加后个位数是8，共有25*25种情况；
2.a=4n,b=4n+1,由25*25种情况
3.4=4n+3,b=4n,共有25*25种情况
满足条件的共有3*25*25种情况，100内a,b共有100*100种组合，3*25*25/100*100=3/16