Question

已知点A（a,0）B(0,b)其中a>0,b>0直线ab与圆Cx^2+y^2-4x-4y+4=0相切,

1，求证（a-4)(b-4)=8
2，求线段AB的中点M的轨迹方程
3，求三角形AOB面积的最小值

Answer 1

点A（a,0）B(0,b)
直线为y=-bx/a+b,bx+ay-ab=0
与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径
x^2+y^2-4x-4y+4=0
(x-2)^2+(y-2)^2=4
圆心(2,2),半径为2
2=|2b+2a-ab|/√(a^2+b^2)
4a^2+4b^2=(2b+2a-ab)^2
8-4b-4a+ab=0
得（a-4)(b-4)=8

AB中点M为(a/2,b/2)
设M为(x,y)
2x=a,2y=b
代入（a-4)(b-4)=8
M轨迹方程为(2x-4)(2y-4)=8
4xy-8x-8y+8=0
xy-2x-2y+2=0

y=2+2/(x-2)
S△AOB=ab/2=2xy
S=(4x^2-4x)/(x-2)
当x=1，S=0则最小面积为0

Answer 2

圆是(x－2)²＋(y－2)²=4。
1、注意到此圆与x、y都相切的，则相当于是三角形AOB的内切圆，而直角三角形内切圆半径是两直角边的和减去斜边的差的一半。另外，可以利用圆心到直线的距离等于半径来解决；
2、设M(x，y)，则x=a/2、y=b/2，即a=2x、b=2y，由于第一问中已经知道了a、b的关系，代入即可，但要注意范围；
3、此直角三角形内切圆的半径一定，即a＋b－c=2R=4，其面积(1/2)ab的值可以考虑利用基本不等式来解决。

Answer 3

提供一下思路：
1.利用直线x/a+y/b=1到圆心（2，2）的距离等于半径2，代入点到直线的距离公式，整理一下，即得结果。
2.设中点为（x，y），则a＝2x，b＝2y，代入（1），即得x与y的关系，即为轨迹方程
3.只要求ab的最小值
由（1），ab－4(a+b)+8=0
ab+8=4(a+b)≥4·2√ab
然后令√ab＝t，解关于t的一元二次不等式，即可得t的范围