Question

如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，E是BC的中点，AD=5,BC=12,CD=4根号2，∠C=45°，点P是BC边上一动点，

设PB的长为x
（1）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形？
（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形？
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？请说明理由。（要详细步骤）

Answer 1

解：（1）分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD= ，∠C=45°，
∴DN=CN=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DEB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DEB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）由（2）知，当BP=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，
∵CD= 4根号2，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP=3．
∴DP=根号DN²+NP² =根号4²+3² =5，
∴EP=DP，

Answer 2

（1）有两个，看不到图，只能想成一般的梯形了，从A或D作垂线，垂足为P，计算P的位置
（2）连接AE或DE，然后做AE或DE的平行线AP或DP，计算P的位置
（3）能，延D做AE的平行线交BC于P，做DM垂直于BC，垂足为M，因为CD=4根号2，E为BC中点，BC=12，角C=45°，则DM=CM=4，EM=2。做EN垂直于AD，垂足为N，又因为DM垂直于BC，ABCD为梯形，则EMDN为长方形，DM平行且等于EN，EM平行且等于DN，所以，EN=4。因为AD=5，所以AN=3。所以在直角三角形AEN中，AE=5，因为AEPD为平行四边形，AD平行且等于EP，AE平行且等于DP，AD=5，所以AD=AE=EP=DP，所以AEPD为菱形。如果是等腰梯形的话，这个P点会有两个，同理可证即可。

Answer 3

1）
过点D作DF⊥BC于点F，则DF=DC×sin45°=4,∴FC=4
此时要满足题目要求，则AP⊥BC,∴PF=AD=5，∴PB=12-5-4=3
同理，当DP⊥BC时，点P与点F重合，此时BP=BF=12-4=8
∴当x的值为_3_或8___时，以P,A,D,E为顶点的四边形为直角梯形。
2)要满足题目要求，则需有PE=AD=5
当点P在B、E之间时，PB=BE-PE=6-5=1
当点P在C、E之间时，PB=BE+PE=6+5=11
∴当x的值为_1或11____时，以P,A,D,E为顶点的四边形为平行四边形。
3）点P在运动过程中，当BP=11时，以P,A,D,E为顶点的四边形可能为菱形
此时满足四个边都为5，所以是菱形

Answer 4

解：（1）如图，分别过A、D作AM⊥BC于M，DN⊥CB于N，
∴AM=DN，AD=MN=5，
而CD=4
2，∠C=45°，
∴DN=CN=CD•sin∠C=42×22=4=AM，
∴BM=CB-CN-MN=3，
若点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形，
则∠APC=90°或∠DPB=90°，
当∠APC=90°时，
∴P与M重合，
∴BP=BM=3；
当∠DPB=90°时，
∴P与N重合，
∴BP=BN=8；
故当x的值为3或8时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；

（2）若以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形，那么AD=PE，有两种情况：
①当P在E的左边，
∵E是BC的中点，
∴BE=6，
∴BP=BE-PE=6-5=1；
②当P在E的右边，
BP=BE+PE=6+5=11；
故当x的值为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

（3）由（2）知，②当BP′=11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形
∴EP=AD=5，
过D作DN⊥BC于N，
∵CD=4
2，∠C=45°，
则DN=CN=4，
∴NP′=BP′-BN=BP′-（BC-CN）=11-12+4=3．
∴DP′=DN2+NP2=42+32=5，
∴EP′=DP′，
故此时▱P′DAE是菱形．
即以点P、A、D、E为顶点的四边形能构成菱形；
②当BP=1时，此时CN=DN=4，NE=6-4=2，
∴DE=DN2+NE2=42+22=25≠AD，故不能构成菱形．

Answer 5

这是河南中考题