Question

已知，如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点，点E不与端点C,D重合，AE

已知：在正方形ABCD中，AD＝12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P。
（1） 设DE＝m（0<m<12），试用含m的代数式表示FH/HG 的值；
（2） 在（1）的条件下，当FH/HG =1\2时，求BP的长。【用八年级的知识解决】

Answer 1

1）过点G作GQ⊥AD于Q，则QG=AB=AD=12，∠FQG=∠D=90°
∵∠QFG+∠DAE=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠QFG=∠AED
∴△QFG≌△AED
∴FG=EA，FQ=DE=m
∵FP的垂直平分线AE
∴AH=1/2AE=1/2FG，∠FHA=∠FQG=90°
∵∠FHA=∠FQG=90°，∠AFH=∠GFQ
∴△FHA∽△FQG
∴FH/AH=FQ/QG
∴FH=AH×FQ/QG=1/2FG×m/12=m/24*FG
HG=FG-FH=FG-m/24*FG=（24-m）/24*FG
∴FH/HG=[m/24*FG]/[（24-m）/24*FG]=m/（24-m）
（2）当FH/HG=1/2时
m/（24-m）=1/2
∴m=8
∴FH=m/24*FG=1/3*√（8²+12²）=4/3√13
∵FH/AH=FQ/QG=m/12=2/3
∴AH=2√13
∴FQ=√（FH²+AH²）=26/3
GB=QA=FA-FQ=26/3-m=2/3
∵△GBP∽△FQG
∴BP/GB=QG/FQ
BP=2/3×12/8=1

Answer 2

（1）过点G作GQ⊥AD于Q，则QG=AB=AD=12，∠FQG=∠D=90°
∵∠QFG+∠DAE=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠QFG=∠AED
∴△QFG≌△AED
∴FG=EA，FQ=DE=m
∵FP的垂直平分线AE
∴AH=1/2AE=1/2FG，∠FHA=∠FQG=90°
∵∠FHA=∠FQG=90°，∠AFH=∠GFQ
∴△FHA∽△FQG
∴FH/AH=FQ/QG
∴FH=AH×FQ/QG=1/2FG×m/12=m/24*FG
HG=FG-FH=FG-m/24*FG=（24-m）/24*FG
∴FH/HG=[m/24*FG]/[（24-m）/24*FG]=m/（24-m）
（2）当FH/HG=1/2时
m/（24-m）=1/2
∴m=8
∴FH=m/24*FG=1/3*√（8²+12²）=4/3√13
∵FH/AH=FQ/QG=m/12=2/3
∴AH=2√13
∴FQ=√（FH²+AH²）=26/3
GB=QA=FA-FQ=26/3-m=2/3
∵△GBP∽△FQG
∴BP/GB=QG/FQ
BP=2/3×12/8=1