Question

高中数学题 导数

已知函数f（x）=lnx-ax²-（2-a）x，试讨论f（x）的单调性。

Answer 1

f'(x)=1/x-2ax-(2-a)=-(2x-1)(ax+1)/x
f'(x)=0 x=1/2或x=-1/a
1)1/2=-1/a即a=-2 f'(x)恒>=0 此时f(x)在(0,正无穷)递增
2)-1/a<0 即a>0 f(x)在(0,1/2)递增 在(1/2,正无穷)递减
3)a=0 f(x)在(0,1/2)递增 在(1/2,正无穷)递减
4)0<-1/a<1/2即a<-2 (麻烦的话可列个表) f(x)在(0,-1/a),(1/2,正无穷)递增 在(-1/a,1/2)递减
5)-1/a>1/2即-2<a<0 f(x)在(0,1/2),(-1/a,正无穷)递增 在(1/2,-1/a)递减
总结：求导后能十字相乘先因式分解，对两解进行讨论
可以考虑两根相等的情况 还有两根是否都在定义域内（此题一根在定义域内，无需讨论，还要考虑另一根）还有两根比大小
导数题不能怕麻烦，一步一步来，能拿几分是几分

Answer 2

f'(x)=1/x-2ax-(2-a) （x>0）
(1)当a=0时，f'(x)=1/x (后面知道了吧？！省略···)
（2）当a><0时，令f'(x)=0 得：x=1/2 或 x=-1/a 。然后讨论-1/a与1/2的大小，分区间讨论。

Answer 3

(1)f(x)=Inx-(a-a/x) f'(x)=(1/x)-(a/x^2)
f(x)递增就是f'(x)>0 -->(x-a)/(x^2)>0 -->x>a and x≠0
(2)a>0 函数f(x)的图像存在唯一零点
那么就是xInx=a(x-1)的图像仅有x=1这一个交点
那么若切线的话是Ina-a+1=0 g(a)=Ina-a+1(a>0) g'(a)=1/x-x 在(0,1]递增，在(1,+∞)递减
而最大值恰好是a=1时是0，所以Ina=a-1有唯一解a=1
若不是切线，如果0<a<1, 那么根据图象在0<x<1
刚开始由于斜率较小，趋近1的时候有a(x-1)>xInx
但当x-->0是，xInx-->0 a(x-1)-->-a ;a(x-1)<xInx形成穿越
必有两交点
如果a>1 那么(xInx)'=1+Inx a(x-1)'=a 刚开始a(x-1)增长较快，后来xInx增长较快，那么当趋近无穷大时必有xInx>a(x-1)
而开始在趋近1的时候却是a(x-1)>xInx
所以形成穿越还是有两交点，所以只有是切线即a=1时才只有一个交点
(3)1/lnx-1/(x-1)<1/2 即证(x-1)-Inx<(1/2)(Inx)(x-1) 那么就是证明a=1
f(x)>-(1/2)(Inx)(x-1)在x∈(1,2)恒成立
由于左边最小值是x=1 f(x)=0 而右边恒小于0
所以左边大于右边 得证

应该是这样，做错了hi我一下