Question

设f(x)是定义在R上的偶函数且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于（0到0.5） 都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)

（1）求f(1/2)及f(1/4)
(2) 证明：f(x)是周期函数
（3）an=f(2n+1/2n),求an的表达式

Answer 1

(1) 设0≤a≤1/2 f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2) 的平方≥0 又因为f（1）=f(1/2+1/2)=f(1/2)的平方 因为f(1/2) ＞0 所以f(1/2)=a的1/2次 F(1/2)=f(1/4+1/4) =f(1/4)的平方 因为f(1/4) ＞0 所以f(1/4)=a的1/4次

(2) 因为f(x)图像关于直线x=1对称 所以有f(x)=f(2-x) 又f(x)为偶函数 所以f(2-x)=f(x-2) 所以 f(x)=f(x-2) 即 f(x+2)=f(x) 所以 f(x)是以2为周期的周期函数。

（3） f(2n+1/2n)=f(1/2n)=a的1/2n次