Question

用牛顿迭代法求方程 f(x)=x³-x²-1=0 在隔根区间[1.4 , 1.5]内的根,要求准确到小数点后第四位.

Answer 1

牛顿迭代法就是用x-f(x)/f'(x)这个式子来迭代，不断逼近f(x)=0的根。

f'(x)=3x²-2x
令g(x)=x-f(x)/f'(x)=(2x³-x²+1)/(3x²-2x)
因为f(x)在[1.4 , 1.5]上单调，所以最多只有一个根。
所以我们可以任取区间中的一个值为初始值，例如取1.45为初始值，代进g(x)里面去：
g(1.45)≈1.46581
g(1.46581)≈1.46557
g(1.46557)≈1.46557 与上一次的差已经在指定的精确度之内了，
所以这就是答案，f(x)的根精确到小数点后第四位等于1.4656

Answer 2

令g(x)=x-f(x)/f'(x)=(2x³-x²+1)/(3x²-2x)
因为f(x)在[1.4 , 1.5]上单调，所以由函数单调定理可知f(x)最多只有一个根。
故可取1.45为初始值，代进g(x)里面去：
g(1.45)≈1.46581
g(1.46581)≈1.46557
g(1.46557)≈1.46557