Question

在菱形ABCD中，∠BAD=θ，△AEF为正三角形，E、F在菱形边上

当θ分别
①60°＜θ＜120° ②120°＜θ＜180°符合条件的正三角形AEF个数？
要详细过程和原因！！

Answer 1

考点：菱形的性质；等边三角形的性质．

专题：探究型．

分析：①θ=60°，由于E、F在菱形的边上，那么在线段AB、AD上，只要EF∥BD，那么所有的E、F点都符合要求，因此这种情况下有无数个符合条件的正三角形．

②60°＜θ＜120°时，若△AEF是正三角形，那么E、F必须在BC、CD上，且关于AC对称，因此满足条件的正三角形只有一个．

③θ=120°时，那么E、F必在线段BC、CD上，连接AC，只要符合△AEC≌△AFB，那么E、F就符合要求，因此符合这样条件的E、F点有无数个，故符合条件的正三角形也由无数个．

④当120°＜θ＜180°时，那么有三种情况：

一、E在AB上，F在BC上，由于∠BAC＞60°，因此这种情况下存在一个符合条件的正三角形；

二、E、F分别在BC、CD上，同②可知这种情况下只有一种符合条件的正三角形；

三、E在CD上，F在AD上，情况同一．

因此当120°＜θ＜180°时，共有3个符合条件的正三角形．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，难度适中．

追问

②60°＜θ＜120°时，若△AEF是正三角形，那么E、F必须在BC、CD上为什么？
④当120°＜θ＜180°时，那么有三种情况：
一、E在AB上，F在BC上，由于∠BAC＞60°，因此这种情况下存在一个符合条件的正三角形；为什么 怎么画
二、E、F分别在BC、CD上，同②可知这种情况下只有一种符合条件的正三角形；为什么？像（3）一样动没有吗？

追答

② 60°＜θ＜120°时，若△AEF是正三角形 ，
∵∠EAF=60° 若E.F在AB.AD上，那么∠EAF=120° ∴E F 一定在BC.CD上

Answer 2

考点：菱形的性质；等边三角形的性质．

专题：探究型．

分析：①θ=60°，由于E、F在菱形的边上，那么在线段AB、AD上，只要EF∥BD，那么所有的E、F点都符合要求，因此这种情况下有无数个符合条件的正三角形．

②60°＜θ＜120°时，若△AEF是正三角形，那么E、F必须在BC、CD上，且关于AC对称，因此满足条件的正三角形只有一个．

③θ=120°时，那么E、F必在线段BC、CD上，连接AC，只要符合△AEC≌△AFB，那么E、F就符合要求，因此符合这样条件的E、F点有无数个，故符合条件的正三角形也由无数个．

④当120°＜θ＜180°时，那么有三种情况：

一、E在AB上，F在BC上，由于∠BAC＞60°，因此这种情况下存在一个符合条件的正三角形；

二、E、F分别在BC、CD上，同②可知这种情况下只有一种符合条件的正三角形；

三、E在CD上，F在AD上，情况同一．

因此当120°＜θ＜180°时，共有3个符合条件的正三角形

点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定和性质，难度适中．

Answer 3

（2）为了方便运算我们用S1，S2,S3,S4,S5,S6分别代表四边形ABCD,四边形AECF,三角形CEF,三角形AEF,三角形ABE,三角形ADF的面积。则有以下关系S2=S1-(S5+S6),S3=S2-S4,所以欲求S2需求S5与S6,欲求S3需求S2与S4.那么我们先来求S2,S5,S6.
过点A分别作BC,CD的垂线AM,AN，垂足分别为M,N，则易证AM=AN=AB*sin∠B=2√3(AB=AD,∠B=∠D=60°)
S5=(1/2)(AM*BE）=（1/2)（AM*CF)=(1/2)[AM*(CD-DF)]=(1/2)(AM*CD)-(1/2)(AM*DF)
S6=(1/2)(AN*DF)=(1/2)(AM*DF)
所以S2=S1-(S5+S6)=AB^2*sin∠B-[(1/2)（AM*CD)-(1/2)(AM*DF)+(1/2)(AM*DF)]=AB^2*sin∠B-(1/2)(AB^2*sin∠B)=4√3
现在来求S3,S4
在三角形ABE中由正弦定理可得AE=AB*sin∠B/sin∠AEB(如果不知正弦定理可求AM与AE的关系，就可得AB与AE的关系）则S4=(1/2)(AE^2*sin∠EAF)=(1/2)[(AB*sin∠B/sin∠AEB)^2*sin∠EAF]=3√3/(sin∠EAF)^2
S3=S2-S4=4√3-3√3/(sin∠EAF)^2≤4√3-3√3/(sin90°）^2=√3
所以四边形AECF的面积恒值为4√3，
三角形CEF的面积是变量当AE⊥BC(或AF⊥CD)或BE=CE时有最大值√3