Question

求问数学分析一道求极限的题的解法！（在线等~）

如何证明：limn →∞，∫+∞1 （sinnx/x*x）=0
希望有详细解法过程~
3Q啦！！！

Answer 1

我们先观察sinnx/x^2的图像，发现它是峰谷相间的并且峰谷的宽度不变，第一个峰的面积大于之后谷的面积大于之后峰的面积。，于是我们发现积分式的绝对值小于第一个峰的面积与第一个谷的面积的最大值。

由上面的观察我们给出证明

记S（n）=|∫+∞1 （sinnx/x*x）|
设2kPi<=n<=2(k+1)Pi
S(n)<=max{积分号下2kPi到2k+1Pi，sinnx/x^2-----------------(第一个峰的面积)

积分号下2k+1Pi到2k+2Pi，-sinnx/x^2-------------------（第一个谷的面积）
}

积分号下2kPi到2k+1Pi，sinnx/x^2<=Pi/(2kPi)^2<=Pi/n^2(大概是这样)

积分号下2k+1Pi到2k+2Pi，-sinnx/x^2做同样估计

由此S(n)->0，（n趋于无穷）

注：上述观察都可以用分析的手段证明，只是比较琐碎，就不打出来了。

Answer 2

SVDSVBDSvDGFZX EAACSD EWRVCDDEVCAE

Answer 3

对于任何A>1，利用积分第二中值定理得存在1<=t<=A使得
\int_1^A sinnx/x^2 dx = \int_1^t sinnx dx + 1/A^2 * \int_t^A sinnx dx
取绝对值
|\int_1^A sinnx/x^2 dx| < |\int_1^t sinnx dx| + |\int_t^A sinnx dx| <= 4/n
所以
|\int_1^\infty sinnx/x^2 dx| < 4/n -> 0