Question

数列求通项

an=(n-1)*(an-1+an-2)，a2=1,a3=2
解答请尽量清晰简练，务必给出确切的最终结果，悬赏可以再提高。

Answer 1

首先这个应该是一个大题，估计没分一般人不会做的
有点难我简写了，能看懂就好，不能看懂不要追问，原因不用我说吧。
n=3
a3=2*(a2+a1)=>a1=0
an=(n-1)*(an-1+an-2)
an=(n-1)a(n-1)+(n-1)a(n-2)
an-na(n-1)=-[a(n-1)-(n-1)a(n-2)]
所以{an-na(n-1)}是首项为a2-2a1公比为-1的的等比数列
an-na(n-1)=(-1)^(n-2)(a2-2a1)=2*(-1)^(n-2)=2*(-1)^n
an=na(n-1)+2(-1)^n
=n(n-1)a(n-2)+2n(-1)^(n-1)+2(-1)^n
=n(n-1)(n-2)a(n-3)+2n(n-1)(-1)^(n-2)+2n(-1)^(n-1)+2(-1)^n
=....
=n!a1+(n!/2!)(-1)^2+...+2[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+2[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+2(-1)^n
=(n!/2!)(-1)^2+...+2[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+2[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+2(-1)^n
后面不用说了吧

追问

构造等比是怎么想到的，描述一下思路可否？
an-nan-1的通项不应该是（-1）^(n-1)吗？

悬赏分已提高

追答

先说an-nan-1构造等比，其实想这样的题很普遍，考试一般会出2~3问，不要第一问就要求{an}的通项公式的
有an,an-1,an-2这连续相邻3项关系的都可设
an+ka(n-1)=m[a(n-1)+ka(n-2)]
带n的就设an+(kn+m)a(n-1)=q[a(n-1)+(kn+m)a(n-2)]
之后比较系数，明白吧？

再说，an-nan-1的通项，我算错了
an=(n-1)*(an-1+an-2)
an=(n-1)a(n-1)+(n-1)a(n-2)
an-na(n-1)
=-[a(n-1)-(n-1)a(n-2)]
=(-1)^1[a(n-1)-(n-1)a(n-2)]
=(-1)^2[a(n-2)-(n-2)a(n-3)]
=...
=(-1)^(n-2)[a2-2a1]
a2=1,a1=0
所以an-na(n-1)=(-1)^(n-2)，我写错了
an-na(n-1)=(-1)^(n-2)=(-1)^n
an
=na(n-1)+(-1)^n
=n(n-1)a(n-2)+n(-1)^(n-1)+(-1)^n
=n(n-1)(n-2)a(n-3)+n(n-1)(-1)^(n-2)+n(-1)^(n-1)+(-1)^n
=...
=n!a1+(n!/2!)(-1)^2+(n!/3!)(-1)^3+...+[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+(n!/n!)(-1)^n
=(n!/2!)(-1)^2+(n!/3!)(-1)^3+...+[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+(n!/n!)(-1)^n

Answer 2

办法1：这其实就是1~n数字错位排列(i不排在第i个位置上)的情形。
利用容斥原理做会比较快。通项有点复杂的说。
你可以直接摆渡“错位排列”。
办法2：构造新数列。f(n)(a_n-a(n)a_(n-1))=f(n-1)a_(n-1)-g(n-1)a_(n-2)，这也是解决非常系数线性递推的一般办法。不过这个办法运气不好会很麻烦。我没用它算过。
其实在这里令B_n =a_n/n!就可以了。

Answer 3

n=3
a3=2*(a2+a1)=>a1=0
an=(n-1)*(an-1+an-2)
an=(n-1)a(n-1)+(n-1)a(n-2)
an-na(n-1)=-[a(n-1)-(n-1)a(n-2)]
所以{an-na(n-1)}是首项为a2-2a1公比为-1的的等比数列
an-na(n-1)=(-1)^(n-2)(a2-2a1)=2*(-1)^(n-2)=2*(-1)^n
an=na(n-1)+2(-1)^n
=n(n-1)a(n-2)+2n(-1)^(n-1)+2(-1)^n
=n(n-1)(n-2)a(n-3)+2n(n-1)(-1)^(n-2)+2n(-1)^(n-1)+2(-1)^n
=....
=n!a1+(n!/2!)(-1)^2+...+2[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+2[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+2(-1)^n
=(n!/2!)(-1)^2+...+2[n!/(n-2)!](-1)^(n-2)+2[n!/(n-1)!](-1)^(n-1)+2(-1)^n