Question

已知π/2<β <α <3π/4,cos(α -β)=12/13,sin(α +β)=-3/5,求sin2α的值

还有cos2β，cos4α 的值。

Answer 1

π3/8

追问

详细过程阿

追答

已知艾尔法 白塔在二三象限
艾尔法大于白塔
根据
sin(α+β）=sinaαcosβ+cosα+sinaβ展开
sin(α+α）=sinaαcosα+cosαsinα=sina2α
自己慢慢展~带入
这题就是展开后带入到最后的sin2a
公式会就能做出来不用都展开~
前面的π/2<β <α <3π/4,是判断象限的，23象限最后就有正负值吧
记不得了~

Answer 2

解：∵π/2<β <α <3π/4
∴0<α-β<π/4，π<α+β<3π/2
==>sin(α-β)>0，cos(α+β)<0
∵cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5
∴sin(α-β)=√[1-cos²(α-β)]=5/13，cos(α+β)=√[1-sin²(α+β)]=-4/5
故sin(2α)=sin[(α+β)+(α-β)]
=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)
=(-3/5)(12/13)+(-4/5)(5/13)
=-56/65；
cos(2β)=cos[(α+β)-(α-β)]
=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)
=(-4/5)(12/13)+(-3/5)(5/13)
=-63/65；
cos(4α)=1-2sin²(2α)
=1-2(-56/65)²
=-2047/4225。

Answer 3

sin2α=sin(α-β+α+β)

∵π／2＜α＜3π／4

-3π／4＜β＜-π／2

β＜α

∴0<α-β<π／4 π<α+β<3π／2

sin(α-β)=5/13 cos(α-β)=12/13 sin(α+β)=-3/5 cos(α+β)=4/5

sin2α=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)=5/13*4/5+12/13*(-3/5)=-16/65

cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)

=12/13*4/5-(-3/5)*5/13

=63/65