Question

设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布N(0,1) ， Y服从二项分布B（n，p），0<p<1，则X+Y的分布连续吗

设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N(0,1) ， Y服从二项分布B（n，p），0<p<1，则X+Y的分布函数
(A)是连续函数 （B)恰有n+1个间断点 （C）恰有一个间断点 （D) 有无穷个间断点
选哪一个，原因？？这一类问题的解题思路？

Answer 1

Fz(z)=P{Z<=z}=P{X+Y<=z}=∑[k=0到n] P{X+k<=z且Y=k}=∑[k=0到n] P{X<=z-k}C(k n)p^k(1-p^k)
=∑[k=0到n] Φ(z-k)C(k n)p^k(1-p^k)
当k为定值时，Φ(z-k)是个连续函数,C(k n)p^k(1-p^k)是个常数
故Φ(z-k)C(k n)p^k(1-p^k)为连续函数
n+1个连续函数相加也是连续函数
所以我认为Z的分布函数是连续函数