Question

如图：已知D为等腰直角三角形ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，，E为AD延长线上一点，且CE=CA。

求证：（1）DE平分∠BDC。 （2）若M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD
图

Answer 1

证明：
（1）
在三角形BCD与三角形ACD中
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°
从而 ∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
又 BC=AC,CD是公共边
∴三角形BCD≌三角形ACD(边，边，边)
得到 ∠BDC=∠ADC
又 ∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-30°=120°
从而 ∠BDC=∠ADC=1/2(360°-∠BDA)=1/2(360°-120°)=120°
又 ∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°①
得到 ∠CDE=∠BDC-∠BDE=120°-60°=60°②
由①②得 ∠BDE=∠CDE
∴DE平分∠BDC

(2)

在三角形CEM与三角形CAD中
由 CE=CA ①
∠CAD=∠CBD=15°
得 ∠CEM=∠CAD=15° ②
∵DC=DM,
∠CDE=60°(由(1)已证得)
∴三角形CDM是正三角形
从而 ∠DMC=∠MCD=∠NDC=∠CDE=60°
得到 ∠ECM=∠DMC-∠CEM=60°-15°=45°
又 ∠DCA=∠MDC-∠CAD=60°-15°=45°
∴∠ECM=∠DCA ③
由①②③得 三角形CEM≌三角形CAD(角，边，角)
∴ME=AD ④
又 BD=AD （由(1)已经证得）⑤
由④⑤得 ME=BD

Answer 2

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD．
在△BDC与△ADC中，
BD=AD
∠CBD=∠CAD
BC=AC
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCB=∠DCA，
又∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠DCB=∠DCA=45°．
由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDM=∠EDC，
∴DE平分∠BDC；

（2）连接MC．
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM．
在△ADC与△EMC中，
∠ADC=∠EMC
∠DAC=∠MEC
AC=EC
∴△ADC≌△EMC，
∴ME=AD=DB．

Answer 3

第一个问题：
∵AC⊥BC、AC＝BC（从图中看出），∴∠CAB＝∠CBA，又∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD。
由AD＝BD、AC＝BC、∠CAD＝∠CBD，得：△ACD≌△BCD，∴∠ACD＝∠BCD＝45°。
显然有：∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴∠BDE＝∠BAD＋∠ABD＝60°。
而∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°。
由∠BDE＝60°、∠CDE＝60°，得：∠BDE＝∠CDE，∴DE平分∠BDC。

第二个问题：
∵DC＝DE、∠CDE＝60°，∴△CDE是正三角形，∴∠CMD＝60°、CD＝CM。
∵CA＝CE，∴∠CAD＝∠CEM，而∠CAD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠CEM。
又∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝120°，∠CME＝180°－∠CMD＝120°，∴∠CDB＝∠CME。
由CD＝CM、∠CBD＝∠CEM、∠CDB＝∠CME，得：△CDB≌△CME，∴BD＝ME。

Answer 4

证明：
（1）
在三角形BCD与三角形ACD中
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-15°=30°
从而 ∠ABD=∠BAD
∴BD=AD
又 BC=AC,CD是公共边
∴三角形BCD≌三角形ACD(边，边，边)
得到 ∠BDC=∠ADC
又 ∠BDA=180°-∠ABD-∠BAD=180°-30°-30°=120°
从而 ∠BDC=∠ADC=1/2(360°-∠BDA)=1/2(360°-120°)=120°
又 ∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°①
得到 ∠CDE=∠BDC-∠BDE=120°-60°=60°②
由①②得 ∠BDE=∠CDE
∴DE平分∠BDC

(2)

在三角形CEM与三角形CAD中
由 CE=CA ①
∠CAD=∠CBD=15°
得 ∠CEM=∠CAD=15° ②
∵DC=DM,
∠CDE=60°(由(1)已证得)
∴三角形CDM是正三角形
从而 ∠DMC=∠MCD=∠NDC=∠CDE=60°
得到 ∠ECM=∠DMC-∠CEM=60°-15°=45°
又 ∠DCA=∠MDC-∠CAD=60°-15°=45°
∴∠ECM=∠DCA ③
由①②③得 三角形CEM≌三角形CAD(角，边，角)
∴ME=AD ④
又 BD=AD （由(1)已经证得）⑤
由④⑤得 ME=BD

Answer 5

∵AC⊥BC、AC＝BC（从图中看出），∴∠CAB＝∠CBA，又∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD。
由AD＝BD、AC＝BC、∠CAD＝∠CBD，得：△ACD≌△BCD，∴∠ACD＝∠BCD＝45°。
显然有：∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴∠BDE＝∠BAD＋∠ABD＝60°。
而∠CDE＝∠CAD＋∠ACD＝15°＋45°＝60°。
由∠BDE＝60°、∠CDE＝60°，得：∠BDE＝∠CDE，∴DE平分∠BDC
(2)

在三角形CEM与三角形CAD中
由 CE=CA ①
∠CAD=∠CBD=15°
得 ∠CEM=∠CAD=15° ②
∵DC=DM,
∠CDE=60°(由(1)已证得)
∴三角形CDM是正三角形
从而 ∠DMC=∠MCD=∠NDC=∠CDE=60°
得到 ∠ECM=∠DMC-∠CEM=60°-15°=45°
又 ∠DCA=∠MDC-∠CAD=60°-15°=45°
∴∠ECM=∠DCA ③
由①②③得 三角形CEM≌三角形CAD(角，边，角)
∴ME=AD ④
又 BD=AD （由(1)已经证得）⑤
由④⑤得 ME=BD