Question

高等数学题：二元函数z=根号（x^2+y^2)在点（0，0）处（）

A不连续，两个偏导数不存在；B不连续，两个偏导数存在；
C连续，两个偏导数不存在；D连续，两个偏导数存在。
答案选C，请求解释原因！

Answer 1

二元函数z=根号（x²+y²)在点（0，0）处连续，两个偏导数不存在。

解答：已知z=√（x²+y²)在点（0，0）处连续

即z=√（x+y)，方向导数∂z/∂x=limρ→0[√（△x）²+（△y）²]/ρ=1

但∂z/∂x=lim△x→0（△x）²/△x=lim△x→0|△x|/△x不存在

扩展资料：

按偏导数的定义，将多元函数关于一个自变量求偏导数时，就将其余的自变量看成常数，此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

当函数 z=f(x，y) 在 (x0，y0)的两个偏导数 f'x(x0，y0) 与 f'y(x0，y0)都存在时，我们称 f(x，y) 在 (x0，y0)处可导。如果函数 f(x，y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x，y) 在域 D 可导。

此时，对应于域 D 的每一点 (x，y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x，y) 对 x (对 y )的偏导函数。

Answer 2

此函数经过变换可以化为Z^2=X^2+Y^2（Z大于0），对应的图形是一个开口向上的标准圆锥曲面，画出图形可以发现在（0,0）点处函数连续。但求一下偏导你会发现分母是根号（X^2+Y^2),当X,Y同时为零时，导函数无意义，所以两个偏导不存在。