Question

已知函数f(x)=x^2-mlnx,h(x)=x^2-x+a （1）当a=0时，f(x)>=h(x)在（1,正无穷）恒成立，求实数m的取值范围

已知函数f(x)=x^2-mlnx,h(x)=x^2-x+a
（1）当a=0时，f(x)>=h(x)在（1,正无穷）恒成立，求实数m的取值范围
（2）当 m=2,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围

Answer 1

用求导数的方法做
(1)
g(x)=f(x)-h(x)=x-mlnx，注意若m<=0，g(x)>=0也恒成立。
如果m>0，若0<x<=1时,g(x)>=0.
dg/dx=1-m/x，
当0<x<m时，dg/dx<0，g(x)是减函数，当x>m时，g(x)是增函数。
所以g(x)的最小值是当x=m时，g(m)=m-mlnm=m(1-lnm)。
要求f(x)>=h(x)在x>1恒成立，即是要求g(m)>=0，所以lnm<=1,m<=e，
（负无穷，e] 就是m的取值范围。

(2)
k(x)=x-mlnx-a，
m=2，则x<=2,从上面的结论可知，k(x)是减函数。x>=2，k(x)是增函数。
那么则k(1)>=0,k(3)>=0,k(2)<0,
所以
a<=1,a<=3-2ln3
a>2-2ln2,
因为3-2ln3-1=2(1-ln3)<0,所以
（2-2ln2，3-2ln3]是a取值范围

Answer 2

ztangry
顶！

Answer 3

(1)m<=0,