Question

x1+x2+2x3-x4=0 求其次线性方程组 2X1+3X2+X3-4X4=0 的基础解系及通解 5X1+6X2+7X3-7X4=0

Answer 1

解: 增广矩阵=
1 1 2 -1
2 3 1 -4
5 6 7 -7

r2-2r1,r3-5r1
1 1 2 -1
0 1 -3 -2
0 1 -3 -2

r1-r2,r3-r2
1 0 5 1
0 1 -3 -2
0 0 0 0

基础解系为: a1=(-5,3,1,0)', a2=(-1,2,0,1)'.
通解为: c1a1+c2a2, c1,c2为任意常数.

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Answer 2

该方程组的系数矩阵为
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
-1
-2
→
0
1
-3
-4
→
0
1
-3
-4
5
6
2
1
0
1
-3
-4
0
0
0
0
所以，原方程组与方程组x1+x2+x3+x4=0，x2-3x3-4x4=0同解，令x3=1,x4=0,得到方程组的一个解为(-4,3,1,0)^t.再令x3=0,x4=1,得到方程组的另一个与之线性无关的解为(-5,4,0,1)^t.
因此，原方程组的一个基础解系为(-4,3,1,0)^t，(-5,4,0,1)^t.通解为k1(-4,3,1,0)^t+k2(-5,4,0,1)^t,k1,k2∈p.