Question

微积分学中dx,dy与△x.△y有什么联系和区别？

①函数f(x)在求x0处的导数时，首先是给自变量x0加上一个增量△x，然后取△x→0时的极限。有图像可得，当x0>0时，dy≠△y,但随着△x→0，dy与△y的差值越来越小。那么dx,dy与△x.△y究竟有什么联系和区别？一会儿相等，一会儿又不等。
②导数可不可以理解成“用于描述函数在局部,函数值随自变量变化的变化情况”？
③导函数f'(x0)=lim(△x→0)△x/△y,为什么可以记成dy/dx?不是说dy≠△y吗？
④还有dy/dx中的“/”不是除号？
那为什么有的老师在图像中把x0处△x所对应x轴上的投影标做dx，把△x所对应的切线在y轴上的投影标做dy，并且说dx=△x,dy≠△y?

Answer 1

①dx≈△x. dy≈△y，我想你说的那个图形证明是直角三角形吧，那个就是能很好说明这几个的关系的。你说的当x0>0时，dy≠△y,正是那个图形得出的证明。dy=f ’(x0)△x，dy是△x的线性函数，作为△y的近似值，这样比较容易计算。（个人意见,不必太过纠结两者关系，主要在微分里知道dx≈△x. dy≈△y就行。
②可以
③你题目应该是f'(x0)=△y/ lim(△x→0)△x ，书上是有证明dy≈△y的，这个是为了方便计算而已。
④是一个比值符号，也说是个除号。就好比1/2,分数形式，也为一除于二

Answer 2

dx是△x趋于无穷小时的一个临界值，它理论上是个符号，表示当△x趋于无穷小这个过程，不是值

2）对
3)如前面说dx,dy是表示过程，dy/dx是过程的结果
4）还是一样，这是个过程，是在极限状态下的除法，你不能用普通意义下的除法去理解极限条件下的除法

Answer 3

先说△x吧，△x表示的是X的改变量，当△x趋近于零的时候，dx=△x