Question

已知f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1都有极值。

求a,b的值及函数f(x)的单调区间;若对x属于[-1,2],f(x)<c^2恒成立，求c的范围

Answer 1

f(x)=x^3+ax^2+bx+c,在x=-2/3,与x=1时取得极值，

∴f '(x)=3x^2+2ax+b的两根为-2/3，1.

4/3-4/3a+b=0,且3+2a+b=0,解得a=-1/2,b=-2.

∴f(x)=x^3-x^2/2-2x+c
f'(x)=3(x+2/3)(x-1)

当x∈[-1,-2/3)或x∈(1,2]时，
f '(x)>0,
f(x)是增函数；
当x∈(-2/3,1)时
f '(x)<0,
f(x)是减函数，

f(-2/3)=22/27+c，f(2)=2+c>f(-2/3),
∴“对x属于[-1,2]，f(x)<c^2，恒成立”,必须且只需f(2)<c^2,即c^2-c-2>0，
∴c的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞).