Question

对于nxm矩阵A，AX=B有解的充分必要条件是：行向量向量无关，列向量有关。对吗？

Answer 1

不对。有解的充要条件是秩为满秩。如果列向量线性相关，那么最大矩阵秩显然为零。

追问

不好意思，打错了题目。应该是它的充要条件为行向量线性无关，列向量线性有关。不对吧，有解的充要条件不是为满秩吧？

追答

不好意思，我也打错了，有唯一解的充要条件为满秩。
如果行向量线性相关，那么就可能有无数解。
举一个例子：
x+y=1;
2x+2y=2;
这时，(x,y)就有无数个，因为行向量线性相关。
至于列向量，是行向量的转置，对使用线性代数的矩阵论时，没什么区别吧！

追问

行向量线性有关时应该无解吧？AX=B不是可以看成B可由A线性表示吗？（B可由A线性表示的条件是A线性无关）那么，如果行向量线性有关的话，那么B不就是不可以由A表示啦？

追答

“那么B不就是不可以由A表示啦？”你这个理解，我不赞同。
应该是：如果行向量线性有关的话，那么A就不是唯一的表示（也就是说有无数个A存在，这里只是其中之一），而不是不可以由A表示。

追问

那总结性的说，就是AX=B有解与行、列向量是否线性有关是没有关系的咯？

追答

就你提问的题目而言，我的答案不变：不对。

Answer 2

不对，都有关。
AX=B有解的充分必要条件是：r(A)=r(A B).即系数矩阵的秩=增广炬阵的秩。

Answer 3

AX=B有解的充分必要条件是: B 可由A的列向量组线性表示
即有 r(A) = r(A,B).

Answer 4

错误，条件为R（A）=R（A，B）