Question

如图，在△ABC中，D为AB的中点，DC ⊥AC，tan∠BCD＝1/3 求：sinA、cosA、tanA

Answer 1

过A作AEIIBC交CD延长线于E
∵D为AB的中点
∴ACBE是平行四边形
∴∠BCD=∠CEA CD=DE
∵DC ⊥AC
∴tan∠BCD=tan∠AEC=AC/CE=AC/(2CD)=1/3
AC=(2/3)CD
由勾股定理求得AD=(√13/3)CD
∴sinA=CD/AD=1/√13=√13/13
cosA=AC/AD=2/√13=2√13/13
tanA=CD/AC=1/(2/3)=3/2

Answer 2

解：
作DE⊥CD，交BC于点E
设DE＝1
∵tan∠BCD＝1/3
∴CD＝3
∵D是AB中点
∴DE是△ABC的中位线
∴AC＝2DE＝2
∴tanA＝3/2
根据勾股定理可得AD＝√13
∴cosA＝2√13/13
sinA＝3√13/13

Answer 3

作DE//AC
因为D是AB中点
所以DE=1/2AC
所以tan∠BCD=(1/2AC)/CD=1/3
所以tanA=CD/AC=3/2
sinA/cosA=3/2
sinA^2+cosA^2=1
算出cosA=(2根号13)/13
sinA=(3根号13)/13

Answer 4

延长CD至M，使DM=CD，连结BM，AM，
四边形BCAM是平行四边形，
BM//AC，
〈BMC=〈DCA=90°，
tan<BCM=BM/CM=AC/2CD=1/3,
AC/CD=2/3,
tanA=CD/AC=3/2,
设CD=m,
AC=2m/3,
根据勾股定理，AD=√13m/3,
sinA=CD/AD=3/√13=3√13/13，
cosA=AC/AD=(2m/3)/(√13m/3)=2√13/13.
tanA=3/2.