Question

高数问题，有关级数收敛

若级数∑an收敛，为什么级数∑an + a(n+1)也收敛？而∑a(2n-1) - a(2n)不一定收敛？

Answer 1

例如an=(-1)^(n-1)/n
∑a(2n-1) - a(2n)=∑1/n发散
∑an + a(n+1) 里两个项是同号的，由于∑an收敛，所以∑2an也收敛，并且任意添加括号后也收敛
∑2an=2a1+2a2+...+2an+...
=a1+(a1+a2+...+an+...)+[a2+a3+...+a(n+1)+...]
=a1+∑[an + a(n+1)]
所以∑[an + a(n+1)]也收敛

Answer 2

级数∑an收敛，其通项an的极限是0，前n项和Sn有极限A。级数∑(an + a(n+1))的前n项和Tn＝2Sn-a1-a(n+1)，所以Tn的极限是2A-a1，级数∑(an + a(n+1))收敛。
无法证明∑(a(2n-1) - a(2n))的前n项和收敛，应该存在反例，暂时还没有想到。留待补充

Answer 3

首先，∑a(n+1)=∑an,所以∑an + a(n+1)=2∑an,而若∑an=无穷大，则∑a(2n-1) - a(2n)变成了无穷-无穷的不定式，所以可能发散