Question

高二数学4-4的一题

已知椭圆x=4cosθ，y=5sinθ上两个相邻顶点为A、C,又B、D为椭圆上的两个动点,且B、D分别在直线AC的两旁,求四边形ABCD面积的最大值。
【要详细过程，最好有图，感谢不尽】

Answer 1

S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=1/2AC*d1+1/2AC*d2（d1为点B到AC的距离，d2为点D到AC的距离） d1、d2最大时，S四边形ABCD
A（4，0） C（0，5） AC：y=-5/4x+5
下面求两条与AC平行的椭圆的切线，切点即为B、D
设切线为y=-5/4x+m，由y=-5/4x+m和xˆ2/16 + yˆ2/25 =1 （椭圆的标准方程）联立可得
xˆ2/8-mx/10+m^2/25-1=0
由▲=0可解得m=±5√2/2
∴两切线方程为y=-5/4x±5√2/2,由两平行线距离公式可得d1+d2=20√2/√41
∴S四边形ABCD=1/2AC(d1+d2)=1/2*√41*(20√2/√41)=10√2

Answer 2

x=4cosθ，y=5sinθ
cosθ=x/4 ，sinθ=y/5 （分离参数）
因为sinˆ2+cosˆ2=1
所以xˆ2/16 + yˆ2/25 =1 （椭圆的标准方程）
【题目其实就是 “求椭圆内接矩形SABCD的最大值 ” （这个你应该能理解吧）】
根据基本不等式 xˆ2/16 + yˆ2/25 =1 ≥ √ xˆ2/16 * yˆ2/25 = xy/20

即xy/20≤1 ，xy≤20 （坐标轴把矩形分成4个小矩形 xy就是小矩形的面积）
SABCD=4xy =4*20=80 （因为椭圆有对称的性质 ，多以四个小矩形的面积是相等的）

*括号内的是解释