Question

求C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+...C(n,3)的化简结果 过程要的

详细越好

Answer 1

C(n,3)=n(n-1)(n-2)/6
∑C(n,3)=(3³+4³+......n³+6+8+......+2n-3×3²-3×4²-......3×n²)/6
={n²(n+1)²/4-9+n(n+1)-6-3×[n(n+1)(2n+1)/6-5]}/6
=n^4/24-n³/12-n²/4+n/2

追问

C(n，3)=n(n-1)(n-2)/3!
这步详细点

这道题答案是C(n+1,4)
怎么化简。

追答

抱歉，昨天急着帮你解题，最后一步写错了，n²和n的系数忘记除以6了
∑C(n,3)=n^4/24-n³/12-n²/24+n/12
=(n³-2n²-n+2)n/24
=(n²-1)(n-2)n/24
=(n+1)n(n-1)(n-2)/4!
=C(n+1,4)

追问

对于Σn^3的通式，该如何做

追答

1³+2³+....+n³=(n+1)²n²/4
用数学归纳法做

Answer 2

求C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+...C(n,3)的化简结果 过程要的
解：∵C(n，3)=n(n-1)(n-2)/3!=(n³-3n²+2n)/6，∴有：
C(3，3)=3³-3×3²+2×3
C(4，3)=4³-3×4²+2×4
C(5，3)=5³-3×5²+2×5
..................................
C(n，3)=n³-2×n²+2×n
将以上n-2个等式竖向相加，得：
C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+...C(n,3)=(3³+4³+5³+...+n³)-3(3²+4²+5²+...+n²)+2(3+4+5+...+n)
={[n(n+1)]²/4-9}-3[(1/6)n(n+1)(2n+1)-5]+(3+n)(n-2)
=[n(n+1)]²/4-n(n+1)(2n+1)/2+(3+n)(n-2)+6
=[n²(n+1)²-2n(n+1)(2n+1)+4(n+3)(n-2)]/4+6
=(1/4)n(n³-2n²-n+2)=n(n-2)(n-1)(n+1)/4， (n≧3，n∈N)
其中用了：1³+2³+3³+........+n³=[n(n+1)]²/4，故3³+4³+5³+....+n³=[n(n+1)]²/4-9
和 1²+2²+3²+....+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)，故3²+4²+5²+.....+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)-5

追问

C(n，3)=n(n-1)(n-2)/3!
这步详细点

这道题答案是C(n+1,4)
怎么化简。

追答

因为忘记除以6，故先修改一下上面的答案：
求C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+...C(n,3)的化简结果 过程要的
解：∵C(n，3)=n(n-1)(n-2)/3!=(n³-3n²+2n)/6，∴有：
C(3，3)=(3³-3×3²+2×3)/6
C(4，3)=(4³-3×4²+2×4)/6
C(5，3)=(5³-3×5²+2×5)/6
..................................
C(n，3)=(n³-2×n²+2×n)/6
将以上n-2个等式竖向相加，得：
C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+...C(n,3)=(3³+4³+5³+...+n³)-3(3²+4²+5²+...+n²)+2(3+4+5+...+n)
={[n(n+1)]²/4-9-3[(1/6)n(n+1)(2n+1)-5]+(3+n)(n-2)}/6
={[n(n+1)]²/4-n(n+1)(2n+1)/2+(3+n)(n-2)+6}/6
={[n²(n+1)²-2n(n+1)(2n+1)+4(n+3)(n-2)]/4+6}/6
={(1/4)n(n³-2n²-n+2)}6=(n+1)n(n-1)(n-2)/24=(n+1)n(n-1)(n-2)/4!
=C(n+1，4) (n≧3，n∈N)
其中用了：1³+2³+3³+........+n³=[n(n+1)]²/4，故3³+4³+5³+....+n³=[n(n+1)]²/4-9
和 1²+2²+3²+....+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)，故3²+4²+5²+.....+n²=(1/6)n(n+1)(2n+1)-5

C(n，3)=n(n-1)(n-2)/3!这步详细点
答：这是直接套组合公式：C(m，n)=A(m，n)/p‹n›=m(m-1)(m-2).....[m-(n-1)]/3!
故C(n，3)=n(n-1)[n-(3-1)]/3!=n(n-1)(n-2)/6

C(n+1，4）=(n+1)(n+1-1)(n+1-2)(n+1-3)/4!=(n+1)n(n-1)(n-2)/24

追问

1³+2³+3³+........+n³=[n(n+1)]²/4
对于Σn^3的通式，该如何做